Opérations sur les relations

Comme les relations sont en réalité des ensembles, nous pouvons effectuer avec elles les opérations ensemblistes classiques.

Opérations ensemblistes

Dans l’article précédent, nous avons défini les relations comme des ensembles. Avec des ensembles, nous pouvons effectuer des opérations comme la réunion, l’intersection ou la différence. Voyons quel sens elles ont dans le cas des relations.

D’abord, nous devons poser une condition, car nous ne pouvons pas effectuer ces opérations entre des relations quelconques. Si nous avons les relations « strictement inférieur à » et « être un nombre pair », ces opérations n’auront pas de sens, car la première relation est binaire, alors que la seconde est unaire. Pour obtenir de nouveau une relation après une opération ensembliste, toutes les relations en jeu doivent avoir la même arité, c’est-à-dire être toutes n-aires pour un certain n.

Réunion

Prenons les relations « strictement inférieur à » et « égalité ». Que se passe-t-il si on réunit ces relations ? Dans la relation « strictement inférieur à », nous avons tous les couples (a ; b) pour lesquels a < b. Dans la relation d’égalité, nous avons tous les couples (a ; b) pour lesquels a = b. Dans la relation < ∪ = se trouveront donc tous les couples (a ; b) pour lesquels a < b ou a = b. Le nombre a est soit strictement inférieur au nombre b, soit égal à lui. Nous connaissons une telle relation et nous l’appelons « inférieur ou égal à », notée ≤.

Si nous avons les relations R₁ et R₂, alors la réunion donne la relation R = R₁ ∪ R₂, pour laquelle : l’élément r est dans la relation R s’il est dans la relation R₁ ou dans la relation R₂. Autrement dit, il sera dans la relation obtenue s’il était dans au moins l’une des relations réunies.

Intersection

Avec la réunion, nous avons obtenu une nouvelle relation dont les éléments étaient des éléments d’au moins l’une des relations réunies. Pour l’intersection, c’est similaire, sauf que les éléments doivent appartenir aux deux relations.

Si nous prenons de nouveau les relations « strictement inférieur à » et « égalité » (sur les nombres réels) et que nous faisons leur intersection, qu’obtenons-nous ? Nous devrions obtenir les éléments qui sont dans la relation « strictement inférieur à » et qui sont en même temps égaux. Mais un tel cas ne peut pas se produire, car si a < b, alors on n’a jamais a = b. Nous obtiendrions la relation vide.

Prenons ces deux relations : « divisibilité sans reste » et la relation binaire contenant les couples d’éléments (a ; b) où a est un nombre impair et b un nombre pair. Travaillons sur les entiers naturels. Dans la première relation, il y aurait des couples de nombres comme (5 ; 15), (6 ; 30), (3 ; 123) – le second nombre doit toujours être divisible par le premier. Dans la seconde relation, il y aura les couples de nombres où le premier est impair et le second pair : (1 ; 4), (5 ; 14), (3 ; 24), etc. L’intersection de ces relations donne une nouvelle relation R qui contiendra les couples (a ; b) pour lesquels b est divisible par a et en même temps a est impair et b est pair. Par exemple : (5 ; 30) ou (3 ; 24).

Différence

Si nous avons deux relations R₁ et R₂, alors la différence R₁ − R₂ donne une nouvelle relation, à laquelle appartiennent les éléments qui sont dans R₁ mais pas dans R₂. Revenons de nouveau aux relations « inférieur ou égal à » et « égalité ». Si la relation R₁ est « inférieur ou égal à » et que la relation R₂ est l’égalité, alors la différence R₁ − R₂ donne les éléments qui sont dans la relation « inférieur ou égal à » mais pas dans la relation d’égalité. Nous obtenons donc les couples (a ; b) pour lesquels a ≤ b sans que a = b. Autrement dit, nous obtenons la relation « strictement inférieur à » : <.

Complémentaire d’une relation

Pour chaque relation, nous pouvons trouver la relation complémentaire. Les éléments du complémentaire de la relation R sont tous les éléments qui n’appartiennent pas à la relation initiale R. Par exemple, le complémentaire de la relation d’égalité (c’est-à-dire =) est la relation « différent de ». Dans la première relation, nous avons tous les couples d’éléments qui sont égaux (par ex. 5 = 5), dans le complémentaire nous avons tous les couples de nombres qui ne sont pas égaux (par ex. 5 ≠ 6).

La seule chose à laquelle tu dois faire attention pour déterminer le complémentaire d’une relation, c’est l’ensemble support, l’ensemble auquel appartient la relation. Nous pouvons définir la relation d’égalité sur les entiers naturels, sur les entiers relatifs, sur les nombres réels, mais aussi, sans problème, sur l’ensemble de tous les humains sur Terre.

Si nous avons une relation binaire R entre les ensembles M₁ et M₂ : R ⊂ M₁ × M₂, alors le complémentaire de la relation, notons-le S, est égal à S = (M₁ × M₂) ∖ R : ce sont les éléments qui sont dans le produit cartésien des ensembles supports mais pas dans la relation R. C’est analogue pour les relations d’autres arités.