Operationen mit Relationen

Da Relationen in Wirklichkeit Mengen sind, können wir mit ihnen die klassischen Mengenoperationen durchführen.

Mengenoperationen

Im vorherigen Artikel haben wir Relationen als Menge definiert. Mit Mengen können wir Operationen wie Vereinigung, Schnitt oder Differenz durchführen. Schauen wir uns an, welche Bedeutung das bei Relationen hat.

Zuerst müssen wir eine Bedingung einführen, denn wir können diese Operationen nicht zwischen beliebigen Relationen durchführen. Wenn wir die Relationen „kleiner als“ und „eine gerade Zahl sein“ haben, dann ergeben diese Operationen keinen Sinn, denn die erste Relation ist zweistellig, die zweite dagegen einstellig. Damit wir nach Anwendung der Mengenoperation wieder eine Relation erhalten, müssen alle beteiligten Relationen dieselbe Stelligkeit haben, d. h., sie müssen alle für ein bestimmtes n n-stellig sein.

Vereinigung

Nehmen wir die Relationen „kleiner als“ und „Gleichheit“. Was passiert, wenn wir diese Relationen vereinigen? In der Relation „kleiner als“ haben wir alle Paare (a, b), für die a < b gilt. In der Relation der Gleichheit haben wir alle Paare (a, b), für die a = b gilt. In der Relation < ∪ = sind also alle Paare (a, b), für die a < b oder a = b gilt. Die Zahl a ist entweder kleiner als die Zahl b oder gleich. Eine solche Relation kennen wir und nennen sie „kleiner oder gleich“, wir bezeichnen sie mit ≤.

Haben wir die Relationen R₁ und R₂, dann entsteht durch die Vereinigung die Relation R = R₁ ∪ R₂, für die gilt: Ein Element r steht in der Relation R, wenn es in der Relation R₁ oder in der Relation R₂ steht. Mit anderen Worten: In der resultierenden Relation ist es enthalten, wenn es in mindestens einer der vereinigten Relationen war.

Schnitt

Bei der Vereinigung haben wir eine neue Relation erhalten, deren Elemente Elemente mindestens einer der vereinigten Relationen waren. Beim Schnitt ist es ähnlich, nur müssen die Elemente Mitglieder beider Relationen sein.

Wenn wir wieder die Relationen „kleiner als“ und „Gleichheit“ (über den reellen Zahlen) nehmen und ihren Schnitt bilden – was erhalten wir? Wir sollten Elemente erhalten, die in der Relation „kleiner als“ stehen und zugleich gleich sind. Ein solcher Fall kann aber nicht eintreten, denn wenn a < b, dann gilt nie a = b. Wir würden die leere Relation erhalten.

Nehmen wir diese zwei Relationen: „Teilbarkeit ohne Rest“ und eine zweistellige Relation, die Paare von Elementen (a, b) enthält, wobei a eine ungerade Zahl und b eine gerade Zahl ist. Wir arbeiten über den natürlichen Zahlen. In der ersten Relation wären Zahlenpaare wie (5, 15), (6, 30), (3, 123) – immer muss die zweite Zahl durch die erste teilbar sein. In der zweiten Relation sind solche Zahlenpaare, bei denen die erste Zahl ungerade und die zweite gerade ist: (1, 4), (5, 14), (3, 24) usw. Durch den Schnitt dieser Relationen entsteht eine neue Relation R und sie enthält solche Paare (a, b), für die gilt, dass b durch a teilbar ist und zugleich a eine ungerade und b eine gerade Zahl ist. Zum Beispiel: (5, 30) oder (3, 24).

Differenz

Haben wir zwei Relationen R₁ und R₂, dann entsteht durch die Differenz R₁ − R₂ eine neue Relation, zu der die Elemente gehören, die in R₁ sind, aber nicht in R₂. Wir können wieder zu den Relationen „kleiner oder gleich“ und „Gleichheit“ zurückkehren. Wenn die Relation R₁ „kleiner oder gleich“ und die Relation R₂ „Gleichheit“ ist, dann erhalten wir durch die Differenz R₁ − R₂ die Elemente, die in der Relation „kleiner oder gleich“ stehen, aber nicht in der Relation der Gleichheit. Wir erhalten also die Paare (a, b), für die a ≤ b gilt und zugleich nicht a = b gilt. Mit anderen Worten erhalten wir die Relation „kleiner als“: <.

Komplement einer Relation

Zu jeder Relation können wir das Komplement der Relation finden. Die Elemente des Komplements der Relation R sind alle Elemente, die nicht zur ursprünglichen Relation R gehören. Zum Beispiel ist das Komplement der Relation der Gleichheit (d. h. =) die Relation der Ungleichheit. In der ersten Relation haben wir alle Paare von Elementen, die gleich sind (z. B. 5 = 5), im Komplement der Relation haben wir alle Paare von Zahlen, die nicht gleich sind (z. B. 5 ≠ 6).

Das Einzige, worauf du bei der Bestimmung des Komplements einer Relation achten musst, ist die Grundmenge – die Menge, zu der die Relation gehört. Die Relation der Gleichheit können wir auf den natürlichen Zahlen definieren, auf den ganzen Zahlen, auf den reellen Zahlen, aber ruhig auch auf der Menge aller Menschen auf der Erde.

Haben wir eine zweistellige Relation R, die aus den Mengen M₁ und M₂ stammt: R ⊆ M₁ × M₂, dann gilt, dass das Komplement der Relation, bezeichnen wir es mit S, gleich S = (M₁ × M₂) ∖ R ist: Das sind die Elemente, die im kartesischen Produkt der Grundmengen liegen, aber nicht in der Relation R. Ähnlich für Relationen anderer Stelligkeiten.