Bewerkingen met relaties

Omdat relaties eigenlijk verzamelingen zijn, kunnen we er de klassieke verzamelingsbewerkingen mee uitvoeren.

Verzamelingsbewerkingen

In het vorige artikel hebben we relaties gedefinieerd als verzameling. Met verzamelingen kunnen we bewerkingen uitvoeren zoals vereniging, doorsnede of verschil. We kijken wat dat voor relaties betekent.

Eerst moeten we een voorwaarde invoeren, want we kunnen deze bewerkingen niet tussen willekeurige relaties uitvoeren. Als we de relaties “kleiner dan” en “een even getal zijn” hebben, hebben deze bewerkingen geen zin, omdat de eerste relatie binair is en de tweede unair. Om na toepassing van een verzamelingsbewerking weer een relatie te krijgen, moeten alle relaties dus dezelfde ariteit hebben, dat wil zeggen: ze moeten allemaal n-air zijn voor een of ander n.

Vereniging

Stel dat we de relaties “kleiner dan” en “gelijkheid” hebben. Wat gebeurt er als we deze relaties verenigen? In de relatie kleiner dan hebben we alle paren (a, b) waarvoor geldt a < b. In de gelijkheidsrelatie hebben we alle paren (a, b) waarvoor geldt a = b. In de relatie < ∪ = zitten dus alle paren (a, b) waarvoor geldt a < b of a = b. Het getal a is kleiner dan het getal b of gelijk eraan. Zo'n relatie kennen we en we noemen haar “kleiner dan of gelijk aan”, we noteren haar als ≤.

Als we de relaties R₁ en R₂ hebben, ontstaat door de vereniging de relatie R = R₁ ∪ R₂, waarvoor geldt: een element r zit in de relatie R als het in de relatie R₁ zit of in de relatie R₂. Met andere woorden: het zit in de relatie die we krijgen als het in minstens een van de verenigde relaties zat.

Doorsnede

Bij de vereniging kregen we een nieuwe relatie waarvan de elementen elementen waren van minstens een van de verenigde relaties. Bij de doorsnede is het vergelijkbaar, alleen moeten de elementen lid zijn van beide relaties.

Als we weer de relaties kleiner dan en gelijkheid nemen (over de reële getallen) en hun doorsnede maken — wat krijgen we dan? We zouden elementen moeten krijgen die in de relatie kleiner dan zitten en tegelijk aan elkaar gelijk zijn. Zo'n geval kan echter niet voorkomen, want als a < b, dan geldt nooit a = b. We zouden de lege relatie krijgen.

We nemen de volgende twee relaties: “deelbaarheid zonder rest” en een binaire relatie die paren (a, b) bevat waarbij a een oneven getal is en b een even getal. We werken over de natuurlijke getallen. In de eerste relatie zitten paren getallen zoals (5, 15), (6, 30), (3, 123) — het tweede getal moet altijd deelbaar zijn door het eerste. In de tweede relatie zitten paren getallen waarvan het eerste oneven en het tweede even is: (1, 4), (5, 14), (3, 24) enzovoort. De doorsnede van deze relaties is een nieuwe relatie R en die bevat de paren (a, b) waarvoor geldt dat b deelbaar is door a en tegelijk a oneven is en b even. Bijvoorbeeld: (5, 30) of (3, 24).

Verschil

Als we twee relaties R₁ en R₂ hebben, ontstaat door het verschil R₁ − R₂ een nieuwe relatie waartoe de elementen behoren die in R₁ zitten maar niet in R₂. We kunnen weer terugkeren naar de relaties kleiner dan of gelijk aan en gelijkheid. Als de relatie R₁ kleiner dan of gelijk aan is en de relatie R₂ de gelijkheidsrelatie, dan krijgen we door het verschil R₁ − R₂ de elementen die in de relatie kleiner dan of gelijk aan zitten maar niet in de gelijkheidsrelatie. We krijgen dus de paren (a, b) waarvoor geldt dat a ≤ b en tegelijk niet geldt a = b. Met andere woorden: we krijgen de relatie kleiner dan: <.

Complement van een relatie

Bij elke relatie kunnen we het complement van de relatie bepalen. De elementen van het complement van een relatie R zijn alle elementen die niet tot de oorspronkelijke relatie R behoren. Het complement van de gelijkheidsrelatie (dus =) is bijvoorbeeld de ongelijkheidsrelatie. In de eerste relatie hebben we alle paren elementen die aan elkaar gelijk zijn (bijvoorbeeld 5 = 5), in het complement van de relatie hebben we alle paren getallen die niet aan elkaar gelijk zijn (bijvoorbeeld 5 ≠ 6).

Het enige waar je bij het bepalen van het complement van een relatie op moet letten, is de onderliggende verzameling — de verzameling waartoe de relatie behoort. De gelijkheidsrelatie kunnen we definiëren op de natuurlijke getallen, de gehele getallen, de reële getallen, maar gerust ook op de verzameling van alle mensen op aarde.

Als we een binaire relatie R hebben die uit de verzamelingen M₁ en M₂ komt: R ⊆ M₁ × M₂, dan geldt dat het complement van de relatie, noem het S, gelijk is aan S = (M₁ × M₂) ∖ R: het zijn de elementen die in het cartesisch product van de onderliggende verzamelingen zitten maar niet in de relatie R. Net zo voor relaties van andere ariteiten.