Πράξεις με σχέσεις

Επειδή οι σχέσεις είναι στην πραγματικότητα σύνολα, μπορούμε να κάνουμε με αυτές τις κλασικές πράξεις συνόλων.

Πράξεις συνόλων

Στο προηγούμενο άρθρο ορίσαμε τις σχέσεις ως σύνολο. Με τα σύνολα μπορούμε να κάνουμε πράξεις όπως η ένωση, η τομή ή η διαφορά. Ας δούμε τι σημασία έχει αυτό στην περίπτωση των σχέσεων.

Πρώτα πρέπει να θέσουμε μια προϋπόθεση, επειδή δεν μπορούμε να κάνουμε αυτές τις πράξεις μεταξύ οποιωνδήποτε σχέσεων. Αν έχουμε τις σχέσεις «μικρότερο από» και «είναι άρτιος αριθμός», οι πράξεις αυτές δεν θα έχουν νόημα, επειδή η πρώτη σχέση είναι διμελής, ενώ η δεύτερη μονομελής. Για να πάρουμε λοιπόν ξανά σχέση μετά την εφαρμογή της πράξης συνόλων, όλες οι σχέσεις που συμμετέχουν πρέπει να έχουν τον ίδιο αριθμό ορισμάτων, δηλαδή πρέπει να είναι όλες n-μελείς για κάποιο n.

Ένωση

Ας έχουμε τις σχέσεις «μικρότερο από» και «ισότητα». Τι θα συμβεί, αν ενώσουμε αυτές τις σχέσεις; Στη σχέση μικρότερο από έχουμε όλα τα ζεύγη (a, b) για τα οποία ισχύει a < b. Στη σχέση της ισότητας έχουμε όλα τα ζεύγη (a, b) για τα οποία ισχύει a = b. Στη σχέση < ∪ = θα υπάρχουν λοιπόν όλα τα ζεύγη (a, b) για τα οποία ισχύει a < b ή a = b. Ο αριθμός a είναι είτε μικρότερος από τον αριθμό b είτε ίσος με αυτόν. Μια τέτοια σχέση την ξέρουμε και τη λέμε «μικρότερο ή ίσο», τη συμβολίζουμε ≤.

Αν έχουμε τις σχέσεις R₁ και R₂, τότε με την ένωση προκύπτει η σχέση R = R₁ ∪ R₂, για την οποία ισχύει: το στοιχείο r βρίσκεται στη σχέση R, αν βρίσκεται στη σχέση R₁ ή βρίσκεται στη σχέση R₂. Με άλλα λόγια, στη σχέση που προκύπτει θα βρίσκεται, αν υπήρχε τουλάχιστον σε μία από τις σχέσεις που ενώθηκαν.

Τομή

Στην ένωση πήραμε μια νέα σχέση, της οποίας τα στοιχεία ήταν στοιχεία τουλάχιστον μίας από τις σχέσεις που ενώθηκαν. Στην τομή είναι παρόμοια, μόνο που τα στοιχεία πρέπει να είναι μέλη και των δύο σχέσεων.

Αν πάρουμε πάλι τις σχέσεις μικρότερο από και ισότητα (πάνω στους πραγματικούς αριθμούς) και κάνουμε την τομή τους – τι παίρνουμε; Θα έπρεπε να πάρουμε στοιχεία που βρίσκονται στη σχέση μικρότερο από και ταυτόχρονα είναι ίσα. Μια τέτοια περίπτωση όμως δεν μπορεί να συμβεί, επειδή αν a < b, δεν ισχύει ποτέ a = b. Θα παίρναμε την κενή σχέση.

Ας έχουμε αυτές τις δύο σχέσεις: «διαιρετότητα χωρίς υπόλοιπο» και μια διμελή σχέση που περιέχει ζεύγη στοιχείων (a, b), όπου το a είναι περιττός αριθμός και το b άρτιος αριθμός. Ας δουλέψουμε πάνω στους φυσικούς αριθμούς. Στην πρώτη σχέση θα υπήρχαν ζεύγη αριθμών όπως (5, 15), (6, 30), (3, 123) – ο δεύτερος αριθμός πρέπει πάντα να διαιρείται με τον πρώτο. Στη δεύτερη σχέση θα υπάρχουν τέτοια ζεύγη αριθμών, όπου ο πρώτος αριθμός είναι περιττός και ο δεύτερος άρτιος: (1, 4), (5, 14), (3, 24) κ.λπ. Με την τομή αυτών των σχέσεων προκύπτει μια νέα σχέση R και θα περιέχει τέτοια ζεύγη (a, b), για τα οποία ισχύει ότι το b διαιρείται με το a και ταυτόχρονα το a είναι περιττός και το b άρτιος αριθμός. Για παράδειγμα: (5, 30) ή (3, 24).

Διαφορά

Αν έχουμε δύο σχέσεις R₁ και R₂, τότε με τη διαφορά R₁ − R₂ προκύπτει νέα σχέση, στην οποία ανήκουν τα στοιχεία που βρίσκονται στην R₁, αλλά δεν βρίσκονται στην R₂. Μπορούμε να επιστρέψουμε πάλι στις σχέσεις μικρότερο ή ίσο και ισότητα. Αν η σχέση R₁ είναι το μικρότερο ή ίσο και η σχέση R₂ η ισότητα, τότε με τη διαφορά R₁ − R₂ παίρνουμε τα στοιχεία που βρίσκονται στη σχέση μικρότερο ή ίσο, αλλά δεν βρίσκονται στη σχέση της ισότητας. Παίρνουμε λοιπόν τα ζεύγη (a, b) για τα οποία ισχύει a ≤ b και ταυτόχρονα δεν ισχύει a = b. Με άλλα λόγια παίρνουμε τη σχέση μικρότερο από: <.

Συμπλήρωμα σχέσης

Για κάθε σχέση μπορούμε να βρούμε το συμπλήρωμα της σχέσης. Τα στοιχεία του συμπληρώματος της σχέσης R είναι όλα τα στοιχεία που δεν ανήκουν στην αρχική σχέση R. Για παράδειγμα, το συμπλήρωμα της σχέσης της ισότητας (δηλαδή του =) είναι η σχέση της ανισότητας. Στην πρώτη σχέση έχουμε όλα τα ζεύγη στοιχείων που είναι ίσα (π.χ. 5 = 5), στο συμπλήρωμα της σχέσης έχουμε όλα τα ζεύγη αριθμών που δεν είναι ίσοι (π.χ. 5 ≠ 6).

Το μόνο που πρέπει να προσέξεις στον προσδιορισμό του συμπληρώματος μιας σχέσης είναι το σύνολο ορισμού της σχέσης – το σύνολο στο οποίο ανήκει η σχέση. Τη σχέση της ισότητας μπορούμε να την ορίσουμε στους φυσικούς αριθμούς, στους ακέραιους αριθμούς, στους πραγματικούς αριθμούς, αλλά άνετα και στο σύνολο όλων των ανθρώπων της γης.

Αν έχουμε διμελή σχέση R ορισμένη στα σύνολα M₁ και M₂: R ⊆ M₁ × M₂, τότε ισχύει ότι το συμπλήρωμα της σχέσης, ας το συμβολίσουμε S, ισούται με S = (M₁ × M₂) ∖ R: είναι εκείνα τα στοιχεία που βρίσκονται στο καρτεσιανό γινόμενο των συνόλων ορισμού, αλλά δεν βρίσκονται στη σχέση R. Ανάλογα και για σχέσεις με άλλον αριθμό ορισμάτων.