Operații cu relații

Deoarece relațiile sunt de fapt mulțimi, putem efectua cu ele operațiile obișnuite cu mulțimi.

Operații cu mulțimi

În articolul anterior am definit relațiile ca mulțimi. Cu mulțimile putem efectua operații precum reuniunea, intersecția sau diferența. Să vedem ce înseamnă asta în cazul relațiilor.

Mai întâi trebuie să introducem o condiție, pentru că nu putem efectua aceste operații între relații oarecare. Dacă avem relațiile „mai mic decât” și „a fi număr par”, aceste operații nu vor avea sens, pentru că prima relație este binară, iar a doua unară. Ca, după aplicarea operației cu mulțimi, să obținem din nou o relație, toate relațiile implicate trebuie să aibă aceeași aritate, adică toate trebuie să fie n-are pentru același n.

Reuniunea

Fie relațiile „mai mic decât” și „egalitate”. Ce se întâmplă dacă reunim aceste relații? În relația mai mic decât avem toate perechile (a, b) pentru care a < b. În relația de egalitate avem toate perechile (a, b) pentru care a = b. În relația < ∪ = vor fi deci toate perechile (a, b) pentru care a < b sau a = b. Numărul a este fie mai mic decât numărul b, fie egal cu el. Pe o astfel de relație o cunoaștem și o numim „mai mic sau egal”, o notăm ≤.

Dacă avem relațiile R₁ și R₂, atunci prin reuniune se obține relația R = R₁ ∪ R₂, pentru care este valabil: elementul r se află în relația R dacă se află în relația R₁ sau în relația R₂. Cu alte cuvinte, un element va fi în relația rezultată dacă a fost cel puțin într-una dintre relațiile reunite.

Intersecția

La reuniune am obținut o relație nouă, ale cărei elemente erau elemente ale cel puțin uneia dintre relațiile reunite. La intersecție este asemănător, doar că elementele trebuie să fie membre ale ambelor relații.

Dacă luăm din nou relațiile mai mic decât și egalitate (pe mulțimea numerelor reale) și facem intersecția lor — ce obținem? Ar trebui să obținem elementele care se află în relația mai mic decât și, în același timp, sunt egale. Un astfel de caz nu poate apărea, pentru că dacă a < b, atunci niciodată nu avem a = b. Am obține relația vidă.

Fie aceste două relații: „divizibilitate” și relația binară care conține perechile de elemente (a, b), unde a este număr impar și b este număr par. Lucrăm pe mulțimea numerelor naturale. În prima relație ar fi perechi de numere precum (5, 15), (6, 30), (3, 123) — al doilea număr trebuie să fie întotdeauna divizibil cu primul. În a doua relație vor fi perechile de numere în care primul număr este impar și al doilea par: (1, 4), (5, 14), (3, 24) etc. Prin intersecția acestor relații se obține o relație nouă R, care va conține perechile (a, b) pentru care b este divizibil cu a și, în același timp, a este impar, iar b este par. De exemplu: (5, 30) sau (3, 24).

Diferența

Dacă avem două relații R₁ și R₂, atunci prin diferența R₁ − R₂ se obține o relație nouă, din care fac parte elementele care sunt în R₁, dar nu sunt în R₂. Ne putem întoarce din nou la relațiile mai mic sau egal și egalitate. Dacă relația R₁ este mai mic sau egal, iar relația R₂ este egalitatea, atunci prin diferența R₁ − R₂ obținem elementele care sunt în relația mai mic sau egal, dar nu sunt în relația de egalitate. Obținem deci perechile (a, b) pentru care a ≤ b și, în același timp, nu are loc a = b. Cu alte cuvinte, obținem relația mai mic decât: <.

Complementara unei relații

Pentru orice relație putem găsi complementara ei. Elementele complementarei relației R sunt toate elementele care nu aparțin relației inițiale R. De exemplu, complementara relației de egalitate (adică =) este relația de inegalitate. În prima relație avem toate perechile de elemente care sunt egale (de exemplu 5 = 5), în complementara relației avem toate perechile de numere care nu sunt egale (de exemplu 5 ≠ 6).

Singurul lucru la care trebuie să fii atent când determini complementara unei relații este mulțimea suport — mulțimea căreia îi aparține relația. Relația de egalitate o putem defini pe numerele naturale, pe numerele întregi, pe numerele reale, dar fără probleme și pe mulțimea tuturor oamenilor de pe pământ.

Dacă avem o relație binară R între mulțimile M₁ și M₂: R ⊆ M₁ × M₂, atunci complementara relației, să o notăm S, este egală cu S = (M₁ × M₂) ∖ R: sunt elementele care se află în produsul cartezian al mulțimilor suport, dar nu se află în relația R. Asemănător pentru relații de alte arități.