Operationer med relationer

Da relationer i virkeligheden er mængder, kan vi udføre de klassiske mængdeoperationer på dem.

Mængdeoperationer

I den foregående artikel definerede vi relationer som en mængde. Med mængder kan vi udføre operationer som forening, fællesmængde eller differens. Lad os se, hvad det betyder for relationer.

Først må vi indføre en betingelse, fordi vi ikke kan udføre disse operationer mellem vilkårlige relationer. Hvis vi har relationerne »mindre end« og »at være et lige tal«, så giver disse operationer ingen mening, fordi den første relation er binær, mens den anden er unær. For at vi efter en mængdeoperation igen får en relation, skal alle de indgående relationer have samme aritet, altså de skal alle være n-ære for et bestemt n.

Foreningsmængde

Lad os have relationerne »mindre end« og »lighed«. Hvad sker der, hvis vi danner foreningsmængden af disse relationer? I relationen mindre end har vi alle par (a, b), for hvilke a < b gælder. I relationen lighed har vi alle par (a, b), for hvilke a = b gælder. I relationen < ∪ = vil der derfor være alle par (a, b), for hvilke det gælder, at a < b eller a = b. Tallet a er enten mindre end tallet b, eller også er de ens. En sådan relation kender vi og kalder den »mindre end eller lig med«, vi skriver den ≤.

Hvis vi har relationerne R₁ og R₂, så opstår der ved forening relationen R = R₁ ∪ R₂, for hvilken der gælder: elementet r er i relationen R, hvis det er i relationen R₁ eller er i relationen R₂. Med andre ord vil det være i den resulterende relation, hvis det var i mindst en af de forenede relationer.

Fællesmængde

Ved foreningen fik vi en ny relation, hvis elementer var elementer i mindst en af de forenede relationer. Ved fællesmængden er det på samme måde, blot skal elementerne være medlemmer af begge relationer.

Hvis vi igen tager relationerne mindre end og lighed (over de reelle tal) og danner deres fællesmængde — hvad får vi? Vi skulle få elementer, som er i relationen mindre end og samtidig er lig med hinanden. Et sådant tilfælde kan dog ikke opstå, fordi hvis a < b, gælder aldrig a = b. Vi ville få den tomme relation.

Lad os have disse to relationer: »går op i« og en binær relation indeholdende par af elementer (a, b), hvor a er et ulige tal og b er et lige tal. Vi arbejder over de naturlige tal. I den første relation ville der være par af tal som (5, 15), (6, 30), (3, 123) — det andet tal skal altid være deleligt med det første tal. I den anden relation vil der være sådanne par af tal, hvor det første tal er ulige og det andet lige: (1, 4), (5, 14), (3, 24) osv. Fællesmængden af disse relationer giver en ny relation R, og den vil indeholde sådanne par (a, b), for hvilke det gælder, at b er deleligt med a og samtidig er a et ulige tal og b et lige tal. For eksempel: (5, 30) eller (3, 24).

Differens

Hvis vi har to relationer R₁ og R₂, så opstår der ved differensen R₁ − R₂ en ny relation, som de elementer tilhører, der er i R₁, men ikke i R₂. Vi kan igen vende tilbage til relationerne mindre end eller lig med og lighed. Hvis relationen R₁ er mindre end eller lig med, og relationen R₂ er lighed, så får vi ved differensen R₁ − R₂ de elementer, som er i relationen mindre end eller lig med, men ikke er i relationen lighed. Vi får altså par (a, b), for hvilke det gælder, at a ≤ b, og samtidig gælder ikke a = b. Med andre ord får vi relationen mindre end: <.

Komplement til en relation

Til hver relation kan vi finde et komplement. Elementerne i komplementet til relationen R er alle de elementer, som ikke tilhører den oprindelige relation R. For eksempel er komplementet til relationen lighed (altså =) relationen ulighed. I den første relation har vi alle par af elementer, der er ens (f.eks. 5 = 5), i komplementet har vi alle par af tal, der ikke er ens (f.eks. 5 ≠ 6).

Det eneste, du skal passe på, når du bestemmer komplementet til en relation, er den underliggende mængde — den mængde, som relationen hører til. Relationen lighed kan vi definere på de naturlige tal, de hele tal, de reelle tal, men gerne også på mængden af alle mennesker på jorden.

Hvis vi har en binær relation R, der er fra mængderne M₁ og M₂: R ⊆ M₁ × M₂, så gælder det, at komplementet til relationen, lad os kalde det S, er lig med S = (M₁ × M₂) ∖ R: det er de elementer, som er i mængdeproduktet af de underliggende mængder, men ikke er i relationen R. På samme måde for relationer med anden aritet.