Операции с релации

Тъй като релациите всъщност са множества, можем да извършваме с тях обичайните операции с множества.

Операции с множества

В предишната статия определихме релациите като множества. С множествата можем да извършваме операции като обединение, сечение или разлика. Нека видим какъв смисъл имат те при релациите.

Първо трябва да въведем условие, защото не можем да извършваме тези операции между произволни релации. Ако имаме релациите „по-малко от“ и „да бъдеш четно число“, тези операции няма да имат смисъл, защото първата релация е бинарна, а втората – унарна. За да получим след прилагането на операцията с множества отново релация, всички участващи релации трябва да имат една и съща арност, тоест трябва да са всички n-арни за някое n.

Обединение

Нека имаме релациите „по-малко от“ и „равенство“. Какво ще стане, ако обединим тези релации? В релацията „по-малко от“ имаме всички двойки (a; b), за които a < b. В релацията равенство имаме всички двойки (a; b), за които a = b. В релацията < ∪ = ще бъдат всички двойки (a; b), за които a < b или a = b. Числото a е или по-малко от числото b, или е равно на него. Такава релация познаваме и я наричаме „по-малко или равно“, означаваме я с ≤.

Ако имаме релации R₁ и R₂, чрез обединението им се получава релацията R = R₁ ∪ R₂, за която е изпълнено: елементът r е в релацията R, ако е в релацията R₁ или е в релацията R₂. С други думи, в получената релация ще бъде, ако е бил поне в една от обединяваните релации.

Сечение

При обединението получихме нова релация, чиито елементи бяха елементи на поне една от обединяваните релации. При сечението е подобно, само че елементите трябва да са членове на двете релации.

Ако отново вземем релациите „по-малко от“ и равенство (над реалните числа) и направим сечението им – какво получаваме? Би трябвало да получим елементи, които са в релацията „по-малко от“ и са равни. Такъв случай обаче не може да настъпи, защото ако a < b, никога не е изпълнено a = b. Получаваме празна релация.

Нека имаме тези две релации: „делимост без остатък“ и бинарна релация, съдържаща двойки елементи (a; b), където a е нечетно число, а b е четно число. Работим над естествените числа. В първата релация ще има двойки числа като (5; 15), (6; 30), (3; 123) – винаги второто число трябва да се дели на първото. Във втората релация ще има такива двойки числа, при които първото число е нечетно, а второто – четно: (1; 4), (5; 14), (3; 24) и т.н. От сечението на тези релации се получава нова релация R, която ще съдържа двойките (a; b), за които b се дели на a и a е нечетно, а b е четно число. Например: (5; 30) или (3; 24).

Разлика

Ако имаме две релации R₁ и R₂, чрез разликата R₁ − R₂ се получава нова релация, към която принадлежат елементите, които са в R₁, но не са в R₂. Можем отново да се върнем към релациите „по-малко или равно“ и равенство. Ако релацията R₁ е „по-малко или равно“, а релацията R₂ е равенство, то чрез разликата R₁ − R₂ получаваме елементите, които са в релацията „по-малко или равно“, но не са в релацията равенство. Получаваме двойките (a; b), за които a ≤ b и не е изпълнено a = b. С други думи, получаваме релацията „по-малко от“: <.

Допълнение на релация

За всяка релация можем да намерим допълнение на релацията. Елементите на допълнението на релацията R са всички елементи, които не принадлежат на първоначалната релация R. Например допълнението на релацията равенство (тоест =) е релацията неравенство. В първата релация имаме всички двойки елементи, които са равни (например 5 = 5), а в допълнението на релацията имаме всички двойки числа, които не са равни (например 5 ≠ 6).

Единственото, на което трябва да внимаваш при определянето на допълнението на релация, е носещото множество – множеството, към което принадлежи релацията. Релацията равенство можем да определим върху естествените, целите или реалните числа, но спокойно и върху множеството на всички хора на земята.

Ако имаме бинарна релация R от множествата M₁ и M₂: R ⊆ M₁ × M₂, то допълнението на релацията, нека го означим с S, е равно на S = (M₁ × M₂) ∖ R: това са елементите, които са в декартовото произведение на носещите множества, но не са в релацията R. Подобно е и при релации с други арности.