Relaatioiden operaatiot

Koska relaatiot ovat todellisuudessa joukkoja, niillä voi tehdä tavallisia joukko-operaatioita.

Joukko-operaatiot

Edellisessä artikkelissa määriteltiin relaatio joukoksi. Joukoilla voi tehdä operaatioita, kuten yhdiste, leikkaus tai erotus. Katsotaan, mitä ne tarkoittavat relaatioiden tapauksessa.

Ensin täytyy asettaa ehto, koska näitä operaatioita ei voi tehdä mielivaltaisten relaatioiden välillä. Jos relaatiot ovat ”pienempi kuin” ja ”olla parillinen luku”, operaatioissa ei ole järkeä, koska ensimmäinen relaatio on binäärinen ja toinen unaarinen. Jotta joukko-operaation jälkeen saataisiin taas relaatio, kaikilla mukana olevilla relaatioilla täytyy olla sama aariteetti, eli niiden kaikkien täytyy olla n-paikkaisia jollakin n.

Yhdiste

Olkoot relaatiot ”pienempi kuin” ja ”yhtäsuuruus”. Mitä tapahtuu, kun nämä relaatiot yhdistetään? Relaatiossa pienempi kuin ovat kaikki parit (a, b), joille pätee a < b. Yhtäsuuruusrelaatiossa ovat kaikki parit (a, b), joille pätee a = b. Relaatiossa < ∪ = ovat siis kaikki parit (a, b), joille pätee a < b tai a = b. Luku a on joko pienempi kuin luku b tai sama. Sellainen relaatio tunnetaan, ja sitä sanotaan relaatioksi ”pienempi tai yhtä suuri kuin” ja merkitään ≤.

Relaatioiden R₁ ja R₂ yhdisteenä syntyy relaatio R = R₁ ∪ R₂, jolle pätee: alkio r kuuluu relaatioon R, jos se kuuluu relaatioon R₁ tai relaatioon R₂. Toisin sanoen tulosrelaatiossa se on mukana, jos se oli ainakin yhdessä yhdistettävistä relaatioista.

Leikkaus

Yhdisteessä saatiin uusi relaatio, jonka alkiot olivat ainakin yhden yhdistettävän relaation alkioita. Leikkauksessa tilanne on samanlainen, mutta alkioiden täytyy kuulua molempiin relaatioihin.

Jos otetaan taas relaatiot pienempi kuin ja yhtäsuuruus (reaaliluvuilla) ja muodostetaan niiden leikkaus – mitä saadaan? Pitäisi saada alkiot, jotka ovat relaatiossa pienempi kuin ja ovat samalla yhtä suuret. Sellaista tapausta ei kuitenkaan voi syntyä, koska jos a < b, niin ei koskaan päde a = b. Saataisiin tyhjä relaatio.

Olkoot nämä kaksi relaatiota: ”jaollisuus ilman jakojäännöstä” ja binäärinen relaatio, joka sisältää parit (a, b), joissa a on pariton luku ja b on parillinen luku. Tarkastellaan positiivisia kokonaislukuja. Ensimmäisessä relaatiossa olisi lukupareja kuten (5, 15), (6, 30), (3, 123) – aina toisen luvun täytyy olla jaollinen ensimmäisellä luvulla. Toisessa relaatiossa ovat sellaiset lukuparit, joissa ensimmäinen luku on pariton ja toinen parillinen: (1, 4), (5, 14), (3, 24) jne. Näiden relaatioiden leikkauksena syntyy uusi relaatio R, ja se sisältää sellaiset parit (a, b), joille pätee, että b on jaollinen luvulla a ja samalla a on pariton ja b parillinen luku. Esimerkiksi: (5, 30) tai (3, 24).

Erotus

Kahden relaation R₁ ja R₂ erotuksena R₁ − R₂ syntyy uusi relaatio, johon kuuluvat alkiot, jotka ovat relaatiossa R₁ mutta eivät relaatiossa R₂. Voidaan palata relaatioihin pienempi tai yhtä suuri kuin ja yhtäsuuruus. Jos relaatio R₁ on pienempi tai yhtä suuri kuin ja relaatio R₂ on yhtäsuuruus, erotuksena R₁ − R₂ saadaan alkiot, jotka ovat relaatiossa pienempi tai yhtä suuri kuin mutta eivät yhtäsuuruusrelaatiossa. Saadaan siis parit (a, b), joille pätee a ≤ b ja samalla ei päde a = b. Toisin sanoen saadaan relaatio pienempi kuin: <.

Relaation komplementti

Jokaiselle relaatiolle voi löytää relaation komplementin. Relaation R komplementin alkiot ovat kaikki alkiot, jotka eivät kuulu alkuperäiseen relaatioon R. Esimerkiksi yhtäsuuruusrelaation (eli =) komplementti on erisuuruusrelaatio. Ensimmäisessä relaatiossa ovat kaikki alkioparit, jotka ovat yhtä suuret (esim. 5 = 5), komplementissa ovat kaikki lukuparit, jotka eivät ole yhtä suuret (esim. 5 ≠ 6).

Ainoa asia, johon komplementtia määritettäessä täytyy kiinnittää huomiota, on perusjoukko – joukko, johon relaatio kuuluu. Yhtäsuuruusrelaation voi määritellä luonnollisille luvuille, kokonaisluvuille, reaaliluvuille, mutta vallan hyvin myös kaikkien maailman ihmisten joukossa.

Jos R on binäärinen relaatio joukkojen M₁ ja M₂ välillä: R ⊆ M₁ × M₂, niin pätee, että komplementti, merkitään sitä S, on S = (M₁ × M₂) ∖ R: ne alkiot, jotka ovat perusjoukkojen karteesisessa tulossa mutta eivät relaatiossa R. Samoin muiden aariteettien relaatioille.