Het driedeurenprobleem

Het driedeurenprobleem, ook wel het Monty Hall-probleem genoemd, is een kansprobleem dat menigeen in verwarring brengt.

Opgave

We hebben drie deuren. Presentator Monty Hall zet achter één deur een auto en achter de andere deuren een geit. Jouw taak is om de deur te vinden en te kiezen waarachter de auto staat. Op dit moment vraagt hij je een van de drie deuren te kiezen, die we A, B en C noemen. Jij kiest één deur, zeg B. Nu komt de presentator in het spel: van de overige deuren, dus A, C, opent hij een deur waarachter een geit zit — hij onthult je dus een deur die zeker niet naar het doel leidt. Stel dat hij deur A opent.

De clou van het hele probleem zit in de volgende stap — de presentator biedt je aan om je keuze te veranderen. Jij had eerst deur B gekozen, daarna vertelde de presentator je dat de auto niet achter deur A staat, en hij biedt je aan om je keuze te veranderen naar deur C. Maar je mag ook je oorspronkelijke keuze B houden.

Wat kies je? Is de kans groter dat de auto achter deur B staat, of achter deur C? Of maakt het niets uit?

Oplossing

Je hebt drie deuren. Eén deur valt af, dus eigenlijk heb je nog maar twee deuren. Achter een van die deuren staat zeker de auto. Over de overige twee deuren weet je niets, je hebt geen enkele andere aanwijzing. Dus de kans is natuurlijk 50% bij beide deuren.

Zo ongeveer denkt een groot deel van de mensen, dus maak je geen zorgen als je dit ook dacht. Maar deze oplossing is natuurlijk fout :-).

Juiste oplossing

Het loont om je keuze te veranderen naar de deur die de presentator niet heeft laten afvallen. Om dit te begrijpen, kunnen we de kansen vanaf het begin uitschrijven. Als je voor het eerst een deur kiest, is de kans dat de auto precies daarachter staat 1/3. We hebben geen andere aanwijzing, dus de kans is gelijk verdeeld, 1/3 voor elke deur.

Als je dus deur B kiest, heb je een kans van 1/3 dat de auto erachter staat. Tegelijk is er een kans van 2/3 dat de auto achter deur A of C staat. Het is dus waarschijnlijker dat de auto achter een deur staat die we niet hebben gekozen. Dit is belangrijk.

In de volgende stap komt de presentator in het spel en opent een van de deuren waarachter geen auto staat. De presentator opent deur A. Achter deur A staat dus geen auto. Wat gebeurt er met die kans van 2/3? We weten dat de kans dat de auto achter deur A of C staat 2/3 is en tegelijk weten we dat hij niet achter deur A staat. De kans van 2/3 verschuift dus naar deur C. De kans dat de auto achter deur C staat is 2/3.

Onze kans bij deur B blijft echter gelijk, die is op geen enkele manier veranderd. We hebben dus 1/3 kans dat de auto achter deur B staat, die we hebben gekozen, en 2/3 kans dat hij achter deur C staat, waar we onze keuze naar kunnen veranderen. Het is dus verstandig om van keuze te veranderen.

Meer deuren

Het voorbeeld is misschien beter te begrijpen als we het aantal deuren verhogen en de opgave zo aanpassen: stel dat we tien deuren hebben. In het begin kiest de deelnemer één deur en de presentator opent alle deuren behalve de deur die we hebben gekozen en de deur waarachter de auto staat. De opgave is vrijwel gelijk aan die in het vorige voorbeeld, alleen opende de presentator daar, toen hij alle deuren opende, maar één deur, omdat hij er niet meer kon openen.

In het begin kies je deur 1. De kans dat de auto erachter staat is 1/10. Er is een kans van 9/10 dat de auto achter een andere deur staat. Vervolgens haalt de presentator 8 deuren weg waarachter zeker geen auto staat en blijven er opnieuw maar twee deuren voor je over. De kans dat de auto achter de deur staat die de presentator voor je heeft laten staan, is 9/10, terwijl de kans dat hij achter jouw gekozen deur staat nog steeds 1/10 is.

Verdere bronnen

• Wikipedia