Binomium van Newton

Het binomium van Newton is een generalisatie van de klassieke formules als (a + b)² met behulp van combinatorische technieken.

Motivatie

Je kent vast de formules voor het uitrekenen van (a + b)² of (a + b)³:

$$\begin{array}{rcl}(a+b{)}^2& =& a^2+2ab+b^2\\ (a+b{)}^3& =& a^3+3a^{2}b+3a{b}^2+b^3\end{array}$$

En een natuurlijke vraag is of deze formules niet te generaliseren zijn voor een willekeurig natuurlijk getal n, dus of we (a + b)ⁿ kunnen uitrekenen.

Afleiding

Natuurlijk kan dat, en daarvoor dient juist het binomium van Newton. We kijken hoe deze ontwikkeling verdergaat voor n = 4 en n = 5.

$$\begin{array}{rcl}(a+b{)}^4& =& a^4+4a^{3}b+6a^2{b}^2+4a{b}^3+b^4\\ (a+b{)}^5& =& a^5+5a^{4}b+10a^3{b}^2+10a^2{b}^3+5a{b}^4+b^5\end{array}$$

Je zou al een bepaald patroon moeten zien. Als we de uitdrukking (a + b)ⁿ hebben, beginnen we aan de rechterkant altijd met de term aⁿ. De tweede term bevat ook de variabele a, maar de exponent is één lager. Bijvoorbeeld: bij de ontwikkeling van (a + b)⁴ hebben we aan de rechterkant in de eerste term a⁴ en in de tweede a³. Elke volgende term bevat de variabele a met een exponent die één lager is dan bij de vorige term. De variabele b neemt juist toe. Aan het begin hebben we de variabele b niet, of eigenlijk wel, maar met exponent nul: b⁰ = 1. In de tweede term heeft b dan exponent één, daarna twee enzovoort.

Daarbij geldt de eenvoudige regel dat de som van de exponenten altijd gelijk moet zijn aan n. Als we de laatste ontwikkeling van (a + b)⁵ bekijken, is bijvoorbeeld de derde term 10a³ · b² en de som van de exponenten bij de variabelen a en b is precies 5.

Het laatste punt is welke coëfficiënten (de getallen voor de variabelen) elke term krijgt. Je merkt vast op dat die coëfficiënten symmetrisch zijn: bij (a + b)⁴ hebben we de coëfficiënten 1, 4, 6, 4, 1, bij (a + b)⁵ hebben we: 1, 5, 10, 10, 5, 1. Ik herinner je eraan dat a⁴ = 1 · a⁴, daarom schrijf ik die één erbij, ook al staat hij niet expliciet in de formules. Een ander verband laten we zien aan de hand van de driehoek van Pascal.

Driehoek van Pascal

De driehoek van Pascal is een handig hulpmiddel bij het berekenen van een ontwikkeling volgens het binomium van Newton. De driehoek van Pascal is opgebouwd uit getallen en er geldt dat een getal dat onder twee andere getallen staat, gelijk is aan hun som. Het klinkt omslachtig, maar aan de driehoek zelf wordt het duidelijk:

Kijk bijvoorbeeld naar het getal vier. Boven dit getal staan de getallen 1 en 3. En de som 1+3 is juist 4. Zo is het ook bij de andere getallen.

En hoe gebruiken we de driehoek van Pascal? Als je naar de getallen op de afzonderlijke rijen kijkt, merk je dat ze erg lijken op de coëfficiënten van de uiteindelijke ontwikkeling volgens het binomium. Bij (a + b)² hebben we bijvoorbeeld de coëfficiënten 1, 2, 1, en dat is precies de tweede rij. Voor (a + b)⁴ hebben we de coëfficiënten 1, 4, 6, 4, 1, en dat is precies de vierde rij. Als we (a + b)ⁿ moeten uitrekenen, hoeven we alleen naar de n-de rij van de driehoek van Pascal te kijken.

Definitie van het binomium van Newton

Formeel luidt het binomium van Newton zo:

$$(a+b{)}^n=\sum _{k=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})a^{n-k}{b}^{k}a,b\in \mathbb{R};n\in \mathbb{N}$$

De som berekenen we van nul tot en met n. Het uiteindelijke aantal termen is dus n + 1. Dat ding tussen haakjes is de binomiaalcoëfficiënt, iets uit de combinatoriek, die het aantal verschillende combinaties voorstelt waarmee we de gegeven term van de ontwikkeling kunnen krijgen. De rest zijn alleen variabelen met de bijbehorende exponenten. Merk op dat de som van de exponenten echt gelijk is aan n: n − k + k = n.

Voorbeelden

Een eenvoudig voorbeeld: bereken met behulp van het binomium van Newton (a + 2b)⁴. Eerst kijken we in de driehoek van Pascal naar de vierde rij. Die zegt ons dat de coëfficiënten de vorm 1, 4, 6, 4, 1 hebben. Nu hoeven we alleen nog stap voor stap de exponenten in te vullen. In de eerste term staat alleen a⁴:

$$(a+2b{)}^4=a^4+\dots$$

In de tweede term zijn de exponenten verdeeld in het paar 3, 1, dus we krijgen a³(2b)¹. De macht met exponent één doet niets met de uitdrukking, dus we kunnen a³2b schrijven. De coëfficiënt van de tweede term is 4:

$$(a+2b{)}^4=a^4+4a^{3}2b+\dots$$

De derde term heeft exponenten 2, 2. Hier even opletten, we kwadrateren de hele 2b, dus zo: (2b)², en dat is gelijk aan: (2b)² = 4b². We schrijven het bij in de ontwikkeling met coëfficiënt 6:

$$(a+2b{)}^4=a^4+4a^{3}2b+6a^{2}4b^2+\dots$$

De vierde term heeft de vorm a(2b)³. Na het uitwerken van de macht krijgen we a8b³. We schrijven het bij met coëfficiënt 4:

$$(a+2b{)}^4=a^4+4a^{3}2b+6a^{2}4b^2+4a8b^3+\dots$$

En de laatste term is dan alleen nog (2b)⁴ = 16b⁴:

$$(a+2b{)}^4=a^4+4a^{3}2b+6a^{2}4b^2+4a8b^3+16b^4.$$

Nu moeten we het alleen nog een beetje opschonen. In de term 4a³2b kunnen we de twee vooraan in de term zetten en 2 · 4 = 8 vermenigvuldigen. Zo krijgen we 8a³b. Als we dat bij de rest ook doen, krijgen we het resultaat:

$$(a+2b{)}^4=a^4+8a^{3}b+24a^2{b}^2+32a{b}^3+16b^4.$$

Let er alsjeblieft op dat de coëfficiënten nu niet meer overeenkomen met de getallen in de driehoek van Pascal.