Statistiek: de basis

Statistiek is de wetenschap die probeert echte gegevens te onderzoeken en deze gegevens met behulp van de kansrekening te beschrijven.

Een eigen sectie voor statistiek

Dit is een oud en verouderd artikel, statistiek heeft al een eigen sectie met het inleidende artikel Basisbegrippen van de statistiek.

Basisbegrippen

In de statistiek werk je met een paar basisbegrippen, die we hier beschrijven.

Allereerst is er de populatie, een eindige verzameling gegevens die we willen onderzoeken. De gegevens kunnen algemeen zijn, het kan in principe van alles zijn. Als je het gemiddelde salaris in Nederland wilt onderzoeken, is de populatie de verzameling van alle mensen in Nederland. Het aantal elementen van de populatie noemen we de omvang van de populatie. De omvang van de door ons gedefinieerde populatie zou dus gelijk zijn aan het aantal inwoners van Nederland.

Verder bestaat het begrip waarnemingseenheid, een concreet element van de populatie. In ons geval zou een waarnemingseenheid één bepaalde persoon zijn.

Tot slot hebben we het kenmerk, dat is wat we willen meten. In ons voorbeeld zou het kenmerk het salaris zijn. Een kenmerk kan kwalitatief of kwantitatief zijn. Een kwantitatief kenmerk (kwantiteit = hoeveelheid, aantal) is een kenmerk dat in getallen kan worden uitgedrukt (bijvoorbeeld het salaris, de lengte, het aantal kinderen, …), een kwalitatief kenmerk kan dan in woorden worden uitgedrukt (kleur, ja/nee, beroep, …).

Frequenties

Een frequentie kan relatief of absoluut zijn en geeft aan hoeveel waarden van het betreffende kenmerk in de populatie voorkomen — absoluut, of relatief ten opzichte van het totale aantal elementen van de populatie.

Belangrijk is dat we bij het berekenen van de frequentie het kenmerk moeten toepassen, want als we de absolute frequentie van een element van de populatie zouden willen berekenen, moeten we noodzakelijk uitkomen op het getal nul of één, omdat een populatie een verzameling is en een verzameling als zodanig niet toestaat dat er meerdere gelijke elementen in zitten.

De absolute frequentie van een waarde z van het kenmerk geeft dus het aantal keren aan dat z in de populatie S voorkomt. Voorbeeld: stel dat we een klas van tien leerlingen hebben. Elke leerling kreeg op het rapport een cijfer voor wiskunde. De cijfers staan in de volgende tabel:

$$\begin{array}{cccccccccc}1& 2& 3& 4& 5& 6& 7& 8& 9& 10\\ 8,5& 4& 7& 8,5& 10& 10& 8,5& 5,5& 10& 7\end{array}$$

Opmerking: de populatie voor dit voorbeeld zou die tien klasgenoten zijn, zoiets als

$$S=\{\text{Daan},\text{Emma},\text{Sem},\dots \}$$

In de tabel hebben we voor de eenvoud in de eerste rij een nummer als identificatie van de leerling, in de eerste rij staan dus de waarnemingseenheden, de elementen van de populatie. In de tweede rij hebben we de waarden van het kenmerk, dus de waarden van “het eindcijfer voor wiskunde” van de betreffende leerling.

De absolute frequentie van de waarde (het cijfer op het rapport) z = 7 zou dus gelijk zijn aan twee, slechts twee leerlingen kregen op het rapport een zeven (dat zijn “leerlingen” 3 en 10). De absolute frequentie van de waarde z = 10 zou drie zijn (“leerlingen” 5, 6 en 9).

De relatieve frequentie geeft aan hoeveel procent van de waarden van het kenmerk in de populatie gelijk is aan de waarde z. De relatieve frequentie van de waarde z berekenen we zo:

$$r=\frac{z_a}{|S|},$$

waarbij z_a de absolute frequentie van de waarde z is en |S| de omvang van de populatie, dus het aantal elementen. De relatieve frequentie van het cijfer zeven zou dus zijn:

$$r_7=\frac{2}{10}=\frac{1}{5}.$$

De omvang van onze populatie is tien, omdat we tien leerlingen in de klas hebben. De schrijfwijze in procenten krijgen we door met honderd te vermenigvuldigen, dus we zouden 20% krijgen. De relatieve frequentie van het cijfer tien zou

$$r_{10}=\frac{3}{10}$$

zijn.

Rekenkundig gemiddelde

Het rekenkundig gemiddelde, of vaak gewoon het gemiddelde, is het gemiddelde van alle waarden in de populatie. Met het woord waarde bedoelen we de waarde na toepassing van het kenmerk. Het gemiddelde berekenen we door alle waarden op te tellen en te delen door het aantal waarden in de populatie. Dus ongeveer zo:

$$p_a=\frac{x_1+x_2+x_3+\dots +x_n}{n}=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{x}_i$$

Ik heb ook de schrijfwijze met een som erbij gezet, voor het geval je die beter leesbaar vindt. Maar de vorige uitdrukking met een breuk is genoeg. De waarden x stellen alle waarden van onze populatie voor.

Voorbeeld: we nemen de gegevens uit de vorige tabel en berekenen het gemiddelde cijfer per leerling.

$$p_a=\frac{8,5+4+7+8,5+10+10+8,5+5,5+10+7}{10}=\frac{79}{10}=7,9$$

In onze klas is het gemiddelde cijfer 7,9. Zoals je ziet, kan het rekenkundig gemiddelde ook een waarde opleveren die in de gegevens helemaal niet voorkomt — in onze tabel heeft niemand een 7,9.

Het rekenkundig gemiddelde is ook slecht bruikbaar als een deel van de gegevens een fundamenteel andere waarde heeft dan de rest. Als we dus een verzameling met de waarden 1, 3, 2, 5, 4, 2, 75 hebben, komt het rekenkundig gemiddelde uit op

$$p_a=\frac{1+3+2+5+4+2+75}{7}\approx 13,14.$$

We zien dat de uitkomst ver van alle waarden in de verzameling ligt. Ze is een aantal keer groter dan de eerste zes getallen en een aantal keer kleiner dan de laatste waarde. Dat is een probleem dat bijvoorbeeld de mediaan kan oplossen, zie verderop. Nu weet je tenminste waarom twee derde van de mensen het gemiddelde salaris niet haalt — er is een kleine groep mensen met zeer bovengemiddelde salarissen, die het rekenkundig gemiddelde verhogen.

Meetkundig gemiddelde

Het meetkundig gemiddelde wordt op dezelfde manier berekend als het rekenkundig gemiddelde, alleen gebruik je in plaats van optellen vermenigvuldigen en in plaats van delen een wortel. Het meetkundig gemiddelde berekenen we dus zo:

$$p_g=\sqrt[n]{x_1\cdot x_2\cdot x_3\cdot \dots \cdot x_n}=\sqrt[n]{\prod _{i=1}^n{x}_i}$$

Het meetkundig gemiddelde kan worden gebruikt als indicator voor groei. Stel bijvoorbeeld dat de prijs van een product in een jaar met 10% steeg, het jaar daarna met 15% en het jaar daarna met 5%. De oorspronkelijke prijs c was na die drie jaar dus

$$1,1\cdot 1,15\cdot 1,05c=\mathrm{1,328}25c.$$

Het meetkundig gemiddelde van deze factoren zou zijn:

$$p_g=\sqrt[3]{1,1\cdot 1,15\cdot 1,05}\approx \mathrm{1,099}2419$$

Wat betekent dat? Dat als de prijs elk jaar precies met het getal 1,0992419 werd vermenigvuldigd (dus ongeveer met 9,92% steeg), de uiteindelijke prijs dezelfde waarde zou hebben:

$$\mathrm{1,099}{2419}^3\approx \mathrm{1,328}25$$

Modus en mediaan

De modus van een kenmerk is de waarde met de hoogste frequentie, genoteerd als Mod(x). Als we terugkeren naar het voorbeeld met de cijfers, dan zijn de waarden 10 en 8,5 de modi, omdat ze het vaakst voorkomen — beide hebben absolute frequentie 3.

De mediaan is dan de middelste waarde, genoteerd als Med(x). Als we de waarden kunnen ordenen in een niet-dalende rij

$$x_1\le x_2\le x_3\le \dots \le x_n,$$

dan is de mediaan de waarde die in het midden van deze rij staat. De middelste waarde verschilt dan naargelang de rij een oneven of een even aantal elementen heeft. Bij een oneven aantal is de mediaan het element op positie

$$\text{Med}(x)=x_{\frac{n+1}{2}}$$

Als de rij een even aantal elementen heeft, dan heeft ze geen element dat precies in het midden staat (voorbeeld: de rij 1, 2, 3, 4 heeft gewoon geen middelste element). Daarom nemen we het gemiddelde van de twee middelste waarden (het gemiddelde van de waarden 2 en 3). De formule voor even n is dus:

$$\text{Med}(x)=\frac{x_{n/2}+x_{(n+2)/2}}{2}$$

Laten we terugkeren naar het voorbeeld dat het slecht bruikbare rekenkundig gemiddelde illustreerde. We hadden een verzameling waarden s=1, 3, 2, 5, 4, 2, 75. De modus zou gelijk zijn aan twee, het is het enige getal dat zich herhaalt. Om de mediaan te berekenen, zetten we de getallen op volgorde in een rij:

$$a_i=1,2,2,3,4,5,75.$$

De rij heeft zeven elementen, het middelste element is dus a₄ en dat is gelijk aan drie.