Kans

De kans op een gebeurtenis geeft aan hoe waarschijnlijk het is dat die gebeurtenis optreedt. Een typisch voorbeeld is een worp met een gewone dobbelsteen. We kunnen ons afvragen: “Hoe groot is de kans dat er een vijf valt?” De kans geven we aan als een getal uit het interval [0, 1] of met procenten, dus van 0% tot 100%.

Verwante definities

Van elke herhaalbare handeling die van het toeval afhangt, zeggen we dat het een kansexperiment is. Een worp met een dobbelsteen of de trekking van een loterij 6 uit 49 is bijvoorbeeld een kansexperiment. Verder hebben we de verzameling van alle mogelijke uitkomsten van het kansexperiment nodig: dat zijn alle mogelijkheden die bij dat kansexperiment kunnen optreden. Op een dobbelsteen kunnen bijvoorbeeld de getallen van één tot en met zes vallen, dus de verzameling van alle mogelijke uitkomsten, de uitkomstenruimte, die we met Ω (omega) noteren, ziet er voor een dobbelsteen zo uit: Ω= {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Bij een loterij 6 uit 49 zouden het alle combinaties zijn die kunnen vallen.

Elke deelverzameling A ⊆ Ω noemen we een gebeurtenis. De gebeurtenis “er valt een even getal” schrijven we bijvoorbeeld als A = {2, 4, 6}. De gebeurtenis “er valt een getal groter dan vijf” schrijven we als A = {6}, enzovoort. Als we met de dobbelsteen gooien (= het experiment uitvoeren) en er valt het getal x, dan zeggen we, als x ∈ A, dat de gebeurtenis is opgetreden, en anders dat de gebeurtenis niet is opgetreden. Als we bij de gebeurtenis “er valt een even getal” blijven en x = 2 valt, dan is x ∈ A, dus 2 ∈ {2, 4, 6} en de gebeurtenis is opgetreden.

Er zijn twee bijzondere soorten gebeurtenissen: de zekere en de onmogelijke gebeurtenis. Een gebeurtenis is zeker als ze bij elk experiment optreedt, en dat betekent dat A = Ω. Bij dobbelstenen zou dat de gebeurtenis “er valt een getal kleiner dan 7” zijn. Dat valt zeker. Het tegenovergestelde is de onmogelijke gebeurtenis, die er zo uitziet: A = ∅, en in woorden bijvoorbeeld “er valt een bloempot op de dobbelsteen”. Nou ja, tijdens het gooien kan er wel een bloempot van tafel vallen, maar er valt zeker geen bloempot op de dobbelsteen, want daarop staan alleen de getallen 1 tot en met 6.

De kans op een gebeurtenis

De kans op een gebeurtenis zegt ons hoezeer we kunnen verwachten dat die gebeurtenis optreedt. Waarschijnlijk vermoeden we allemaal dat er vaker een even getal op de dobbelsteen valt dan precies het getal vijf. De kans zet dit vermoeden om in exacte getallen. Eerst noemen we een paar aannames die we nodig hebben.

Stel dat voor een kansexperiment geldt:

• Er zijn eindig veel mogelijke uitkomsten (dus Ω is een eindige verzameling).
• Er kunnen niet twee uitkomsten tegelijk optreden (dus we kunnen met een dobbelsteen niet tegelijk een 3 en een 6 gooien).
• Elke uitkomst is even waarschijnlijk (dus de kans dat we met de dobbelsteen een 4 gooien is even groot als de kans op een 6 of een 1).

De eerste twee voorwaarden zijn vrij natuurlijk, de laatste is wat beperkend, maar voorlopig redden we ons ermee. Dan kunnen we zeggen dat de kans op gebeurtenis A, die we met P(A) noteren, gelijk is aan

$$P(A)=\frac{|A|}{|\mathrm{\Omega }|}.$$

Met andere woorden: het aantal gunstige uitkomsten gedeeld door het aantal van alle uitkomsten. (De verticale streepjes in de voorgaande formule betekenen het aantal elementen van een verzameling.) De kans op het gooien van een even getal met een dobbelsteen zou dus gelijk zijn aan:

$$P(\text{even})=\frac{|\{2,4,6\}|}{|\{1,2,3,4,5,6\}|}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}=0,5.$$

Vaak geven we de kans weer in procenten: we nemen de berekende kans, vermenigvuldigen die met honderd en zetten er procenten achter: 0,5 · 100% = 50%. Een kans van vijftig procent zegt ons eigenlijk dat de kans dat er een even getal valt even groot is als de kans dat dat niet gebeurt. Dat is logisch, want op een dobbelsteen staan drie even en drie oneven getallen.

De zekere gebeurtenis heeft kans 1, de onmogelijke gebeurtenis kans 0. Waarom? We hebben gezegd dat voor de zekere gebeurtenis Z geldt dat Z = Ω en voor de onmogelijke gebeurtenis O dat O = ∅. Als we deze gebeurtenissen in de formule invullen, krijgen we:

$$P(Z)=\frac{|\mathrm{\Omega }|}{|\mathrm{\Omega }|}=1;P(O)=\frac{|\mathrm{\varnothing }|}{|\mathrm{\Omega }|}=\frac{0}{|\mathrm{\Omega }|}=0.$$

Uitgewerkte voorbeelden

1. Hoe groot is de kans dat er een vijf op de dobbelsteen valt? Dat is eenvoudig, de verzameling van alle gunstige uitkomsten is alleen A = {5}, de verzameling van alle uitkomsten is nog steeds Ω= {1, 2, 3, 4, 5, 6}. We vullen in de formule in:

   $$P(A)=\frac{|\{5\}|}{|\{1,2,3,4,5,6\}|}=\frac{1}{6}=\mathrm{16,666}\dots \mathrm{\%}$$

2. Hoe groot is de kans dat er een getal op de dobbelsteen valt dat deelbaar is door drie? We moeten bepalen welke getallen op de dobbelsteen deelbaar zijn door drie. Dat zijn alleen de getallen 3 en 6, dus de verzameling van gunstige uitkomsten is B = {3, 6}. Dan zoals gewoonlijk:

   $$P(B)=\frac{|\{3,6\}|}{|\{1,2,3,4,5,6\}|}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}=\mathrm{33,333}\dots \mathrm{\%}$$

3. Nu proberen we met twee dobbelstenen tegelijk te gooien. Hoe groot is de kans dat er op beide dobbelstenen een zes valt? Eerst moeten we Ω bepalen, dus de verzameling van alle uitkomsten. We moeten alle mogelijkheden tellen die kunnen optreden. Als er op de eerste dobbelsteen een 1 valt, dan kan er op de tweede een getal van 1 tot en met 6 vallen. Zo hebben we zes mogelijkheden gevonden. Als er op de eerste dobbelsteen een 2 valt, kunnen er op de tweede dobbelsteen weer de getallen 1 tot en met 6 vallen; zo hebben we nog eens zes mogelijkheden gevonden. En zo verder voor alle getallen die op de eerste dobbelsteen kunnen vallen. Alle mogelijkheden zien er dan zo uit:

   $$\begin{array}{rcl}& \mathrm{\Omega }=& (1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),\\ & & (2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),\\ & & \dots \\ & & (6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)\end{array}$$

   We hebben zes rijen en in elke rij hebben we zes mogelijkheden. In totaal krijgen we 6 · 6 = 36 mogelijkheden die er met de dobbelstenen kunnen vallen. Hoeveel daarvan zitten ook in de verzameling van gunstige uitkomsten? Slechts één mogelijkheid, namelijk (6, 6), want we willen dat er twee zessen vallen. Zo krijgen we de kans:

   $$P(C)=\frac{|\{(6,6)\}|}{|\mathrm{\Omega }|}=\frac{1}{36}=\mathrm{2,777}\dots \mathrm{\%}$$

4. Hoe groot is de kans dat er bij een worp met twee dobbelstenen op beide hetzelfde getal valt? Het aantal van alle mogelijke uitkomsten is nog steeds 36, zie het vorige voorbeeld. Maar hoeveel gunstige uitkomsten zijn er? Slechts in zes gevallen valt er op beide dobbelstenen hetzelfde getal: D = {(1, 1), (2, 2), …, (6, 6)}. We vullen in de formule in:

   $$P(D)=\frac{|D|}{|\mathrm{\Omega }|}=\frac{6}{36}=\frac{1}{6}=\mathrm{16,666}\dots \mathrm{\%}$$

5. Hoe groot is de kans dat er bij een worp met twee dobbelstenen, een witte en een zwarte, een 3 valt op de witte en een 5 op de zwarte dobbelsteen? De grootte van Ω is nog steeds 36. Hoe ziet de verzameling van gunstige uitkomsten E eruit? Ze bevat alleen de mogelijkheid (3, 5), dus de kans is gelijk aan

   $$P(E)=\frac{|E|}{|\mathrm{\Omega }|}=\frac{1}{36}=\mathrm{2,777}\dots \mathrm{\%}$$

6. Hoe groot is de kans dat er bij een worp met twee dobbelstenen, een witte en een zwarte, de getallen 3 en 5 vallen? Dit voorbeeld lijkt op het vorige, alleen eisen we niet dat de 3 op de witte en de 5 op de zwarte dobbelsteen valt. Op een van de dobbelstenen moet gewoon een 3 vallen en op de andere een 5. Daardoor krijgen we meer mogelijkheden: naast (3, 5) hebben we ook de mogelijkheid (5, 3). De kans op deze gebeurtenis F is dus gelijk aan:

   $$P(F)=\frac{|F|}{|\mathrm{\Omega }|}=\frac{2}{36}=\frac{1}{18}=\mathrm{5,555}\dots \mathrm{\%}$$

7. Hoe groot is de kans dat er bij een worp met twee dobbelstenen minstens één zes valt? We gaan stap voor stap te werk: als er een zes valt op de eerste dobbelsteen, dan kunnen er op de tweede dobbelsteen de getallen 1 tot en met 5 vallen. Dat zijn vijf mogelijkheden. Als er een zes valt op de tweede dobbelsteen, kunnen er op de eerste dobbelsteen de getallen 1 tot en met 5 vallen. Dat zijn nog eens vijf mogelijkheden. En ten slotte kan er op beide dobbelstenen een zes vallen: dat is nog één mogelijkheid. In totaal hebben we dus 5 + 5 + 1 = 11 mogelijkheden. De verzameling van gunstige uitkomsten G ziet er dus zo uit: G = {(6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (1, 6), (2, 6), (3, 6), (4, 6), (5, 6), (6, 6)}. We krijgen de kans:

   $$P(G)=\frac{|G|}{|\mathrm{\Omega }|}=\frac{11}{36}=\mathrm{30,555}\dots \mathrm{\%}$$

8. In een klas zitten 30 leerlingen. Hoe groot is de kans dat Daan een beurt krijgt bij geschiedenis als de docent per les altijd twee leerlingen overhoort en nog niemand aan de beurt is geweest? Om de kans te berekenen, moeten we bepalen hoeveel verschillende tweetallen leerlingen er zijn en hoeveel verschillende tweetallen leerlingen er zijn waarvan Daan er een is. Omdat het niet uitmaakt in welke volgorde de docent de leerlingen aan de beurt laat komen, gebruiken we combinaties.

   Nu wordt het eenvoudig. We hebben 30 leerlingen en we vragen ons af hoeveel verschillende tweetallen we daaruit kunnen samenstellen. Dat brengt ons bij de binomiaalcoëfficiënt

   $$(\genfrac{}{}{0ex}{}{30}{2})=435$$

   En in hoeveel tweetallen zit ook Daan? Als een van de twee Daan is, dan blijven er 29 leerlingen over met wie Daan een tweetal kan vormen (met zichzelf kan hij er geen vormen, vandaar 30-1=29). Nu kennen we het aantal van alle mogelijkheden en het aantal gunstige mogelijkheden, dus we vullen in de formule in:

   $$P(H)=\frac{29}{435}=\mathrm{0,066}6\dots =\mathrm{6,666}\dots \mathrm{\%}$$

   Opmerking: het aantal van alle tweetallen kunnen we ook zonder combinaties berekenen. Hoe zouden we alle tweetallen kunnen vormen als we een klas van 30 leerlingen hebben? Door steeds één leerling te nemen en daar na elkaar alle anderen bij te zetten. Dat betekent dat we bijvoorbeeld Sem nemen en daar alle andere leerlingen als tweede bij zetten, dus we vormen 29 paren. Zo doen we het met elke leerling, dus met alle 30 leerlingen. We krijgen in totaal 30 · 29 = 870 paren. Maar elk paar hebben we dubbel, een keer hebben we het tweetal (Sem, Emma) en een tweede keer (Emma, Sem) (afhankelijk van of Sem net degene was bij wie de rest van de klas werd gezet, of degene die net bij Emma werd gezet). Dit resultaat delen we dus nog door twee en we hebben het eindresultaat: 870 / 2 = 435.

9. Hoe groot is de kans dat je uit een schoenenrek met twaalf paar schoenen precies drie linkerschoenen trekt? Dat is een handig voorbeeld uit het dagelijks leven, dat heb je vast al eens willen weten. We beginnen met uitrekenen hoeveel verschillende drietallen we in totaal uit het schoenenrek kunnen trekken. Daarvoor hebben we combinaties nodig, want het maakt niet uit in welke volgorde we de schoenen pakken. We hebben 24 schoenen en we willen er 3 pakken. We krijgen de binomiaalcoëfficiënt:

   $$(\genfrac{}{}{0ex}{}{24}{3})=2024$$

   Daarmee hebben we berekend dat er in totaal 2024 verschillende combinaties van drie schoenen zijn die we uit het schoenenrek kunnen pakken. Nu moeten we berekenen welke combinaties gunstig zijn, dus welke combinaties van drie schoenen alleen linkerschoenen bevatten. We weten dat er in het schoenenrek 12 linkerschoenen staan. We berekenen dus alleen hoeveel combinaties we met deze 12 schoenen kunnen maken. Dat leidt opnieuw tot een binomiaalcoëfficiënt:

   $$(\genfrac{}{}{0ex}{}{12}{3})=220$$

   Er zijn dus 220 combinaties die alleen linkerschoenen bevatten. Dat is alles wat we moeten weten, nu vullen we alleen nog in de formule in:

   $$P(I)=\frac{220}{2024}=\mathrm{0,108}695\dots =\mathrm{10,869}5\dots \mathrm{\%}$$

   De kans dat we drie schoenen pakken en dat het allemaal linkerschoenen zijn, is dus ongeveer tien procent.