Reguła de l’Hospitala

Regułę de l’Hospitala (czytaj: „de lopitala”) można czasem wykorzystać do obliczania granic ilorazu.

Twierdzenie

Jeśli liczymy granicę funkcji w punkcie, to w pewnych okolicznościach możemy sobie pomóc pochodnymi. Weźmy więc funkcję w postaci ilorazu, tzn. mamy funkcje f(x) i g(x) i szukamy granicy

$$ \lim_{x\rightarrow x_0}\frac{f(x)}{g(x)}. $$

Jeśli $\lim_{x\rightarrow x_0} f(x) = \lim_{x\rightarrow x_0} g(x) = 0$, obie funkcje mają pochodną w pewnym otoczeniu punktu x₀ (w samym punkcie x₀ nie muszą jej mieć) i istnieje granica

$$ \lim_{x\rightarrow x_0}\frac{f'(x)}{g'(x)}, $$

to zachodzi równość:

$$ \lim_{x\rightarrow x_0}\frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x\rightarrow x_0}\frac{f'(x)}{g'(x)}. $$

Jeśli granica $\lim_{x\rightarrow x_0}\frac{f'(x)}{g'(x)}$ nie istnieje, to nie oznacza, że nie istnieje także granica $\lim_{x\rightarrow x_0}\frac{f(x)}{g(x)}$. Jeśli granica z pochodnymi nie istnieje, musimy wyjściową granicę bez pochodnych obliczyć w inny sposób.

Przykład

1. Oblicz granicę

   $$ \lim_{x\rightarrow 3}\frac{x^2-9}{x^2-x-6} $$

   Czy możemy rozwiązać ten przykład regułą de l’Hospitala? Najpierw musimy sprawdzić, czy granica obu funkcji (tej w mianowniku ułamka i tej w liczniku) w punkcie x₀ = 3 jest równa zeru. Oznaczmy funkcje f(x) = x² − 9 i g(x) = x² − x − 6. Obie są wielomianami, a więc są ciągłe, dlatego ich granice są równe wartościom funkcji:

   $$ \begin{eqnarray} f(3) &=& 3^2 - 9 = 0\\ g(3) &=& 3^2 - 3 - 6 = 0 \end{eqnarray} $$

   Pierwszy warunek jest spełniony. Zauważ, że granicy nie możemy obliczyć po prostu tak, że za x podstawimy liczbę trzy, bo cała funkcja jest w punkcie x₀ = 3 nieciągła, a właściwie w ogóle nie ma tam wartości (nie ma jej dlatego, że żeby ją dostać, musielibyśmy dzielić przez zero). Teraz możemy spróbować zastosować regułę de l’Hospitala i zróżniczkować obie funkcje. Uwaga, nie różniczkujemy według wzoru na pochodną ilorazu, różniczkujemy osobno funkcję w liczniku i osobno funkcję w mianowniku. Dostaniemy więc:

   $$ \begin{eqnarray} f'(x) &=& 2x\\ g'(x) &=& 2x - 1 \end{eqnarray} $$

   Zamiast poprzedniej granicy możemy więc rozwiązać tę granicę:

   $$ \lim_{x\rightarrow3}\frac{2x}{2x-1} $$

   Ta funkcja jest w punkcie x₀ = 3 ciągła, więc możemy już tylko podstawić za x wartość trzy i obliczyć wartość całej funkcji:

   $$ \lim_{x\rightarrow3}\frac{2x}{2x-1} = \frac{2\cdot3}{2\cdot3-1}=\frac65 $$

   Widzimy, że granica tej funkcji istnieje, dlatego istnieje także granica $\lim_{x\rightarrow 3}\frac{x^2-9}{x^2-x-6}$ i te granice są sobie równe. Zachodzi więc:

   $$ \lim_{x\rightarrow 3}\frac{x^2-9}{x^2-x-6} = \lim_{x\rightarrow3}\frac{2x}{2x-1} = \frac65. $$

2. Oblicz granicę

   $$ \lim_{x\rightarrow0}\frac{x}{\sin x} $$

   Jak wygląda sytuacja w punkcie x₀ = 0? Znowu oznaczymy f(x) = x i g(x) = sin x. Zachodzi f(0) = 0 i g(0) = 0. Dostajemy iloraz $\frac00$, funkcja jest w tym punkcie nieciągła. Możemy spróbować zastosować regułę de l’Hospitala. Różniczkujemy obie funkcje:

   $$ \begin{eqnarray} f'(x) &=& 1\\ g'(x) &=& \cos x \end{eqnarray} $$

   Pochodne funkcji mamy, spróbujmy obliczyć granicę

   $$ \lim_{x\rightarrow0}\frac{1}{\cos x} $$

   Jaka będzie sytuacja w punkcie x₀ = 0? Ponieważ cos(0) = 1, dostajemy ułamek $\frac11=1$. Funkcja jest w punkcie x₀ = 0 ciągła, więc zachodzi

   $$ \lim_{x\rightarrow0}\frac{1}{\cos x}=\frac11=1. $$

   Ponieważ ta granica istnieje, istnieje także granica $\lim_{x\rightarrow0}\frac{x}{\sin x}$ i te granice są sobie równe. Dostajemy

   $$ \lim_{x\rightarrow0}\frac{x}{\sin x} = 1 $$