Dzielenie wielomianu przez wielomian

Dzielenie wielomianów to nietrywialne działanie, które dość często przydaje się przy przekształcaniu i upraszczaniu wielomianów.

Przykład pierwszy

Dzielenie wielomianów jest już sprawą dość skomplikowaną, przynajmniej w porównaniu z poprzednimi działaniami. Mimo to sposób dzielenia wielomianów jest całkiem podobny do zwykłego dzielenia pisemnego. Cały algorytm pokażemy na przykładach. Zacznijmy od czegoś prostego, na przykład:

$$(4x^3+8x^2) : (2x^2)$$

Zakładamy, że oba wielomiany mamy uporządkowane według malejących potęg i porządnie uproszczone – czyli co dało się dodać, to dodaliśmy. Dla samego algorytmu nie jest to istotne, ale ułatwia liczenie. W pierwszym kroku dzielimy pierwszy wyraz pierwszego wielomianu przez pierwszy wyraz drugiego wielomianu (tutaj drugi wielomian jest jednomianem, więc jego pierwszy wyraz jest zarazem całym drugim wielomianem). Wykonujemy więc działanie

$$4x^3 : (2x^2) = \frac42x^{3-2}=2x$$

Dzielenie takich prostych wyrazów przebiega odwrotnie niż mnożenie, nie powinno tu być nic zaskakującego. Ponieważ to pierwszy krok, dopisujemy wynik do wyjściowego wyrażenia, które chcemy obliczyć,

$$(4x^3+8x^2) : (2x^2)=2x$$

i przechodzimy do drugiego kroku. Mnożymy nasz tymczasowy wynik przez drugi wielomian, czyli przez wielomian, przez który dzielimy.

$$2x\cdot(2x^2)=4x^3$$

Ten wynik odejmujemy od całego pierwszego wielomianu. Zapisujemy to pod pierwszym wielomianem, mniej więcej tak:

$$\begin{eqnarray} (4x^3+8x^2)&:(2x^2)=2x\\ \underline{-(4x^3)}\\ 8x^2 \end{eqnarray}$$

W tej chwili pod kreską zostało nam wyrażenie, do którego stosujemy ten sam sposób co do wyjściowego wielomianu. Dzielimy je przez pierwszy wyraz drugiego wielomianu.

$$8x^2 : (2x^2)=4$$

Ten wynik dodajemy do poprzedniego tymczasowego wyniku:

$$(4x^3+8x^2) : (2x^2)=2x+4$$

I znowu mnożymy z powrotem cały drugi wielomian przez czwórkę

$$(2x^2)\cdot4=8x^2$$

i odejmujemy od tego, co zostało pod kreską.

$$\begin{eqnarray} (4x^3+8x^2)&:(2x^2)=2x+4\\ \underline{-(4x^3)}\\ 8x^2\\ \underline{-(8x^2)}\\ 0 \end{eqnarray}$$

Po odjęciu zostaje zero i na tym algorytm się kończy. Po prawej stronie mamy wynik dzielenia. Jeśli chcemy zrobić sprawdzenie, mnożymy otrzymany wielomian przez drugi wielomian i musimy dostać pierwszy wielomian.

$$(2x^2)\cdot(2x+4)=4x^3+8x^2$$

W polskich podręcznikach ten sam algorytm zapisuje się zwykle trochę inaczej: iloraz piszemy nad kreską nad dzielną, podobnie jak przy dzieleniu pisemnym liczb, a nie za znakiem równości. Kolejne kroki i wynik są jednak dokładnie takie same.

Przykład drugi

Tylko trochę zmienimy poprzednie zadanie i spróbujemy obliczyć

$$(4x^3+8x^2+7) : (2x^2).$$

Obliczenie będzie przebiegać przez cały czas tak samo jak w poprzednim przykładzie, tylko po każdym odejmowaniu wynik będzie o siedem większy. W skrócie obliczenie wyglądałoby tak:

$$\begin{eqnarray} (4x^3+8x^2+7)&:(2x^2)=2x+4\\ \underline{-(4x^3)}\\ 8x^2+7\\ \underline{-(8x^2)}\\ 7 \end{eqnarray}$$

Sposób się nie zmienił, przybyła nam tylko siódemka. W tym kroku nowej różnicy (tej siódemki) nie da się już ładnie podzielić przez drugi wielomian. Wynik zapisujemy po prostu jako siedem podzielone przez ten wielomian i dodajemy do wyniku częściowego.

$$\begin{eqnarray} (4x^3+8x^2+7)&:(2x^2)=2x+4+\frac{7}{2x^2}\\ \underline{-(4x^3)}\\ 8x^2+7\\ \underline{-(8x^2)}\\ 7 \end{eqnarray}$$

Mnożąc z powrotem przez drugi wielomian, dostaniemy siódemkę

$$(2x^2)\cdot\frac{7}{2x^2}=7$$

i po odjęciu otrzymujemy zero.

$$\begin{eqnarray} (4x^3+8x^2+7)&:(2x^2)=2x+4+\frac{7}{2x^2}\\ \underline{-(4x^3)}\\ 8x^2+7\\ \underline{-(8x^2)}\\ 7\\ \underline{-7}\\ 0 \end{eqnarray}$$

Algorytm się tu kończy, doszliśmy do zera.

W Polsce częściej mówi się, że ilorazem jest wielomian przed ułamkiem, a siódemka jest resztą z dzielenia. Zapis z ułamkiem na końcu oznacza to samo: dzielna jest równa dzielnikowi pomnożonemu przez iloraz, do czego dodajemy resztę.

Przykład trzeci

Rozszerzymy drugi wielomian o jeszcze jeden wyraz.

$$(6x^7+19x^4+7) : (3x^3+5)$$

W pierwszym kroku dzielimy pierwszy wyraz pierwszego wielomianu przez pierwszy wyraz drugiego, tak samo jak w poprzednich przykładach.

$$6x^7 : 3x^3=2x^4$$

W następnym kroku mnożymy ten wynik częściowy przez cały drugi wielomian i odejmujemy od pierwszego.

$$(3x^3+5)\cdot2x^4=6x^7+10x^4$$

Zapiszemy to przejrzyście pod całym przykładem.

$$\begin{eqnarray} (6x^7+19x^4+7)&:(3x^3+5)=2x^4\\ \underline{-(6x^7+10x^4)}\\ 9x^4+7 \end{eqnarray}$$

Idziemy dalej i dzielimy pierwszy wyraz nowo powstałego wielomianu przez pierwszy wyraz drugiego wielomianu.

$$9x^4 : 3x^3=3x$$

Mnożymy przez cały drugi wielomian:

$$(3x^3+5)\cdot3x=9x^4+15x$$

Zapisujemy i odejmujemy:

$$\begin{eqnarray} (6x^7+19x^4+7)&:(3x^3+5)=2x^4+3x\\ \underline{-(6x^7+10x^4)}\\ 9x^4+7\\ \underline{-(9x^4+15x)}\\ -15x+7 \end{eqnarray}$$

Tego już nie da się rozsądnie podzielić (stopień jest mniejszy niż stopień dzielnika), więc po prostu dodajemy ułamek, w którym resztę dzielimy przez dzielnik.

$$(6x^7+19x^4+7) : (3x^3+5)=2x^4+3x+\frac{-15x+7}{3x^3+5}$$

Ilorazem jest więc wielomian przed ułamkiem, a resztą z dzielenia licznik ułamka. Gdybyśmy jeszcze z powrotem wykonali mnożenie i odejmowanie, od razu dostalibyśmy zero, jak w poprzednim przykładzie. Zrobimy sprawdzenie. Zanim zrobimy dokładne sprawdzenie, możemy spróbować szybkiego testu. Podstawimy do wyrażeń jakąś prostą wartość, na przykład zero. Jeśli podstawimy zero do wyniku dzielenia, dostaniemy

$$0+0+\frac{0+7}{0+5}=\frac75.$$

Jeśli podstawimy zero do wyrażeń, które dzielimy, dostajemy

$$(0+0+7) : (0+5)=\frac75.$$

Jeśli nasze przekształcenie jest poprawne, obie wartości muszą wyjść takie same. Jak widać, są równe. Ten sposób nie zagwarantuje nam co prawda pełnej poprawności, bo musielibyśmy sprawdzić wszystkie wartości, jakie możemy podstawić za x, ale za to może szybko wykryć błąd. Spróbujmy jeszcze tego samego z jedynką. Podstawiamy do wyniku i dostajemy:

$$2+3+\frac{-15+7}{3+5}=5-\frac88=4.$$

Podstawiamy do wyjściowych wyrażeń i dostajemy

$$(6+19+7) : (3+5)=\frac{32}{8}=4.$$

Wszystko idzie dobrze, ale do ostatecznego potwierdzenia musimy wykonać całe mnożenie.

$$\begin{eqnarray} (3x^3+5)\cdot(2x^4+3x+\frac{-15x+7}{3x^3+5})&=&(3x^3+5)\cdot2x^4+(3x^3+5)\cdot3x+(-15x+7)\\ &=&6x^7+10x^4+9x^4+15x-15x+7\\ &=&6x^7+19x^4+7 \end{eqnarray}$$

Jeśli dzielimy przez dwumian postaci „x minus liczba”, w polskiej szkole zamiast dzielenia pisemnego używa się często krótszego schematu Hornera, który daje ten sam iloraz i tę samą resztę.