Rozkład wielomianu na czynniki

Wielomian można rozłożyć na iloczyn wielomianów, czyli na czynniki. Wyobraźmy sobie, że mamy wielomian

$$P_n(x)=a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1}+\ldots+a_1x^1+a_0x^0,$$

Stała n oznacza stopień wielomianu, czyli najwyższy wykładnik, który w wielomianie występuje i przy którym współczynnik nie jest zerowy. Na przykład wielomian x³ − 4x² − 5x ma stopień 3. Wszystkie pozostałe wykładniki są albo mniejsze (wykładniki 2 i 1), albo stoi przy nich zerowy współczynnik. Teraz możemy powiedzieć, że jeśli znajdziemy jakiś pierwiastek k naszego wielomianu, to istnieje inny wielomian Q_{n − 1}(x), który ma stopień o jeden mniejszy, i

$$P_n(x)=(x-k)\cdot Q_{n-1}(x).$$

Brzmi to skomplikowanie, ale w praktyce mówi tyle: jeśli znamy pierwiastek wielomianu P_n(x), potrafimy znaleźć inny wielomian Q_{n − 1}(x), który po pomnożeniu przez wyrażenie (x − k) daje wyjściowy wielomian P_n(x), przy czym wielomian Q_{n − 1}(x) ma stopień o jeden niższy niż wielomian P_n(x). W polskiej szkole ten fakt nazywa się twierdzeniem Bézouta. Gdy spojrzymy na nasz wielomian P₃(x) = x³ − 4x² − 5x, widzimy, że jednym z pierwiastków wielomianu jest liczba k₁ = 0 (bo gdy za x podstawimy w wielomianie zero, całe wyrażenie będzie równe zeru). Musi więc istnieć wielomian Q₂(x) taki, że

$$P_3(x)=(x-0)\cdot Q_2(x)$$

Tu będzie łatwo, bo x − 0 jest oczywiście równe x, więc dostajemy równanie:

$$P_3(x)=x\cdot Q_2(x)$$

Z wyjściowego wielomianu P₃(x) wystarczy wyłączyć przed nawias x i dostaniemy nasz nowy wielomian Q₂(x):

$$P_3(x)=x\cdot (x^2-4x-5)$$

To pierwszy rozkład wielomianu na czynniki. Wyjściowy wielomian x³ − 4x² − 5x udało nam się rozłożyć na iloczyn (x − 0) razy x² − 4x − 5, czyli wielomian niższego stopnia. Ten wielomian x² − 4x − 5 możemy jednak rozłożyć dalej. Gdy rozwiążemy równanie kwadratowe

$$x^2-4x-5=0$$

okaże się, że jego rozwiązaniami są liczby k₂ = 5 i k₃ = −1. Powinniśmy więc umieć znaleźć wielomian Q₁(x) taki, że

$$Q_2(x)=(x-5)\cdot Q_1(x)$$

Znalezienie wielomianu Q₁(x) nie jest całkiem proste, możemy sobie pomóc na przykład dzieleniem wielomianów. W ten sposób stwierdzimy, że szukany wielomian to Q₁(x) = x + 1, więc możemy napisać

$$x^2-4x-5=(x-5)\cdot(x+1)$$

Cały wyjściowy wielomian P₃(x) jest równy:

$$P_3(x)=x\cdot(x-5)\cdot(x+1)$$

Gdy w ten sposób rozłożymy cały wielomian, możemy pięknie odczytać poszczególne pierwiastki. Jeśli którykolwiek z czynników tego iloczynu będzie równy zeru, całe wyrażenie będzie równe zeru. Dlatego z zapisu od razu widać, że pierwiastkami wielomianu są właśnie liczby k₁ = 0, k₂ = 5 i k₃ = −1.