Funkcja wielu zmiennych

Najprostsze funkcje mają zwykle tylko jeden parametr. Łatwo się z nimi pracuje i łatwo się je analizuje. W życiu czasem jednak potrzebujemy też bardziej złożonych funkcji, które mają więcej parametrów (zmiennych).

Jak wygląda funkcja wielu zmiennych

Do tej pory pracowaliśmy z funkcjami, które mają jeden parametr. Funkcja może jednak spokojnie mieć dwa parametry albo i więcej. Z taką funkcją pracuje się tak samo jak z funkcją jednego parametru, tylko – jeśli myślimy o niej jak o tabeli – mamy więcej kolumn z wejściami, a kolumna z wyjściem zostaje jedna. Taka tabela mogłaby wyglądać tak:

$$\begin{array}{ccc} \mbox{Wejście a}&\mbox{Wejście b}&Wynik\\\hline 1&1&2\\ 1&2&3\\ 1&5&6\\ 3&5&8\\ 4&12&16\\ \end{array}$$

Oznaczenie takiej funkcji wyglądałoby podobnie jak w przypadku funkcji jednego parametru, tylko w nawiasie zapiszemy dwa parametry: f(a,b). Wywołanie wyglądałoby wtedy tak: f(1, 2). Obliczenie wartości polegałoby na znalezieniu wiersza, w którym Wejście a = 1 i Wejście b = 2. W tym wierszu kolumna Wynik ma wartość 3, więc f(1, 2) = 3.

Zauważ, że w kolumnie „wejście a” niektóre wartości występują kilka razy. Mówiliśmy już, że funkcja musi dla tego samego wejścia zawsze zwrócić ten sam wynik. Czy tak jest i tutaj, skoro w jednej kolumnie wejściowej mamy takie same wartości? Tak, bo rozróżnia je druga kolumna. Nie ma więc nic złego w tym, że w pierwszej kolumnie kilka razy występuje liczba 1, bo za każdym razem w drugiej kolumnie stoi inna wartość. Funkcję wywołujemy z dwoma argumentami, więc dla tej samej pary argumentów musi zawsze zwracać ten sam wynik. Błędna tabela wyglądałaby tak:

$$\begin{array}{ccc} \mbox{Wejście a}&\mbox{Wejście b}&Wynik\\\hline 1&1&2\\ 1&2&3\\ 1&5&6\\ 3&4&8\\ 3&4&13\\ \end{array}$$

Dwa ostatnie wiersze mają na wejściach te same wartości, dlatego ta tabela nie jest poprawną definicją funkcji. Ta funkcja nie wiedziałaby, co zwrócić, gdybyśmy wywołali ją z argumentami f(3, 4).

Przykłady funkcji wielu zmiennych

W matematyce funkcją dwóch parametrów jest na przykład potęga. Potęgowanie bierze jako jeden argument podstawę, a jako drugi wykładnik. Żeby było jasne: zapis x² to tak naprawdę wywołanie funkcji dwóch parametrów. Gdybyśmy chcieli samodzielnie zdefiniować potęgowanie jako funkcję, moglibyśmy zrobić to tak:

$$ \mbox{potęga}(a, b) = a^b $$

Parametr a to podstawa, a parametr b to wykładnik. Zapis x² moglibyśmy więc zapisać także jako potęga(x, 2). W ciele funkcji za parametr a podstawilibyśmy wtedy zmienną x, a za parametr b wykładnik 2. I wracamy do wyrażenia x².

Kolejnym przykładem mogą być klasyczne działania dodawanie czy mnożenie. Dodawanie albo mnożenie to nic innego jak funkcja dwóch parametrów:

$$\begin{eqnarray} \mbox{dodaj}(a, b) &=& a + b\\ \mbox{pomnóż}(a, b) &=& a \cdot b \end{eqnarray}$$