Granica jednostronna

Zwykle liczymy granicę obustronną, czyli sprawdzamy, do jakiej wartości zbliżają się wartości funkcji zarówno z lewej, jak i z prawej strony. Możemy jednak badać tylko granicę jednostronną – tylko z lewej albo tylko z prawej strony.

Granice jednostronne

Weźmy jakąś funkcję f(x) i jakiś punkt x₀, w którym chcemy obliczyć granicę. Normalnie napisalibyśmy:

$$ \lim_{x\rightarrow x_0} f(x) = ? $$

Do punktu x₀ możemy się jednak zbliżać tylko z jednej strony – albo z lewej, albo z prawej. Zapisuje się to za pomocą znaków minus i plus w indeksie górnym. Tak więc „x dążące do siódemki z lewej strony” i „x dążące do dziesiątki z prawej strony” zapisalibyśmy tak:

$$\begin{eqnarray} \lim_{x\rightarrow7^-}f(x)&=&L_1\\ \lim_{x\rightarrow10^+}f(x)&=&L_2\\ \end{eqnarray}$$

Definicję zmienimy po prostu tak, że zamiast całego sąsiedztwa punktu skupienia weźmiemy tylko jego lewostronne albo prawostronne sąsiedztwo. Zmieniona definicja granicy prawostronnej:

$$(\forall \epsilon > 0),(\exists\delta>0),(\forall x\in D(f)),((x_0 < x < x_0+\delta)\Rightarrow |f(x)-L| < \epsilon).$$

Zauważ, że w implikacji bierzemy tylko te x, które są większe niż x₀ – bierzemy więc te x, które leżą na osi liczbowej na prawo od liczby x₀. Definicja granicy lewostronnej:

$$(\forall \epsilon > 0),(\exists\delta>0),(\forall x\in D(f)),((x_0-\delta < x < x_0)\Rightarrow |f(x)-L| < \epsilon).$$

Granica lewostronna i prawostronna nie muszą być w ogólności równe. Może zajść kilka przypadków: funkcja ma w punkcie granicę lewostronną i prawostronną, funkcja ma tylko jedną z tych granic, a w końcu może nie mieć żadnej z nich.

Przy tym zachodzi, że funkcja f ma w punkcie x₀ granicę wtedy i tylko wtedy, gdy ma w tym punkcie granicę lewostronną i prawostronną i obie te granice są równe. Jeśli ma obie granice jednostronne, ale są one różne, to funkcja nie ma w danym punkcie granicy – ma tylko granice jednostronne.

Pokażmy to wszystko na prostej funkcji f(x) = 1/x. Oto wykres:

Trywialnym przypadkiem jest granica dla x dążącego do jedynki. W punkcie jeden funkcja jest ciągła, jest określona i w ogóle to ładny przykład. Z lewej i z prawej strony wartość funkcji zbliża się do jedynki, więc i granica będzie równa jeden. Co jednak, jeśli zechcemy obliczyć granicę dla x dążącego do zera?

$$\lim_{x\rightarrow0}\frac{1}{x}=?$$

To już jest ciekawy przykład. Zauważ, że próbujemy znaleźć granicę w punkcie, który nie należy do dziedziny funkcji. Jeśli podstawimy do funkcji wartość zero, dostaniemy wyrażenie, które nie ma sensu (przez zero nie dzielimy!). Wcale nam to nie przeszkadza, bo w definicji mowa jest o punkcie skupienia, a zero jest punktem skupienia dziedziny, bo w każdym jego sąsiedztwie znajdziemy jakiś element dziedziny funkcji.

Kiedy spojrzymy na wykres i zaczniemy zbliżać się do zera z lewej strony, widzimy, że wartość funkcji ciągle maleje. Przykłady:

\begin{eqnarray} f(-10)&=& -1/10\\ f(-1)&=& -1\\ f(-\frac12)&=& -2\\ f(-1/10)&=& -10\\ \end{eqnarray}

Gdybyśmy wzięli jakąś liczbę ujemną, która jest „bardzo” blisko zera, na przykład −0,000 001, dostalibyśmy jako wartość funkcji „bardzo” małą liczbę: −1 000 000.

Im bliżej zera będziemy z lewej strony, tym bardziej wartość funkcji będzie się zbliżać do minus nieskończoności. Natomiast jeśli zbliżamy się do zera z prawej strony, widzimy, że wartość funkcji rośnie. Im bardziej zbliżamy się do zera z prawej strony, tym bardziej wartość funkcji zbliża się do nieskończoności. Jak to rozwiążemy? Po prostu powiemy, że funkcja nie ma w punkcie zero granicy. Ma tylko dwie różne granice jednostronne:

$$\begin{eqnarray} \lim_{x\rightarrow0^-}\frac{1}{x}&=&-\infty\\ \lim_{x\rightarrow0^+}\frac{1}{x}&=&+\infty \end{eqnarray}$$