Granica właściwa w punkcie niewłaściwym

Granica funkcji to jedno z najważniejszych pojęć analizy matematycznej. Opisuje zachowanie jakiejś funkcji w otoczeniu określonego punktu, dzięki czemu możemy na przykład zdefiniować ciągłość funkcji. Granica funkcji pomoże nam zrozumieć zachowanie funkcji nawet w miejscach, w których funkcja w ogóle nie jest określona.

Granica właściwa w punkcie niewłaściwym

Ta sytuacja jest podobna do granic ciągów. Szukamy, jaką granicę ma funkcja, jeśli zbliżamy się do nieskończoności. Granica może być albo właściwa, albo niewłaściwa. Zaczniemy od granicy właściwej.

Niech ∞ będzie punktem skupienia dziedziny funkcji f. Wtedy L ∈ ℝ jest granicą funkcji w punkcie ∞, jeśli

$$(\forall\epsilon>0),(\exists A\in \mathbb{R}),(\forall x\in D(f)),(x > A \Rightarrow |f(x)-L|<\epsilon)$$

i w punkcie −∞, jeśli

$$(\forall\epsilon>0),(\exists A\in \mathbb{R}),(\forall x\in D(f)),(x < A \Rightarrow |f(x)-L|<\epsilon)$$

Co mówi nam definicja? Że jeśli wybierzemy jakieś otoczenie o promieniu ε wokół przewidywanej granicy L (czyli na osi y), to zawsze potrafimy znaleźć na osi x taki punkt A, że jeśli weźmiemy dowolny punkt x na prawo od A, czyli x>A, to będzie zachodzić |f(x)−L| < ε, czyli wszystkie wartości funkcji będą oddalone od granicy L o mniej niż ε.

Weźmy funkcję f(x) = (2/x)+1. Wykres:

Widać, że jeśli z wartością x zbliżamy się do nieskończoności, wartość funkcji f(x) zbliża się do jedynki. Wybierzmy więc L = 1. Teraz udowodnimy, że L = 1 jest naprawdę granicą tej funkcji w plus nieskończoności. Najpierw to sobie wypróbujemy. Wybierzmy jakiś epsilon, na przykład $\epsilon=\frac12$. Teraz spróbujemy znaleźć takie A ∈ ℝ, żeby dla wszystkich x, które są większe od A, wartość funkcji była oddalona od L o mniej niż ε. Naszkicujmy to na rysunku:

To, że wartość funkcji f(x) jest oddalona od punktu L o mniej niż ε, oznacza, że krzywa będąca wykresem funkcji leży między tymi czerwonymi liniami. Musimy teraz znaleźć na osi x próg A, od którego ten warunek jest spełniony. Nie musi to być koniecznie najmniejszy możliwy próg, więc możemy wybrać na przykład A = 6.

Widzimy, że krzywa będąca wykresem leży za progiem A cała między czerwonymi liniami, które wyznaczają odległość ε od L. Na razie sprawdziliśmy to dla jednego konkretnego ε; żeby udowodnić, że L = 1 jest naprawdę granicą, musimy umieć to udowodnić dla wszystkich ε > 0.

Teraz musimy ustalić, dla jakich A zachodzi taki warunek:

$$x > A \Rightarrow |f(x)-L| < \epsilon$$

Po podstawieniu:

$$x > A \Rightarrow \left|\left(\frac{2}{x}+1\right) - 1\right| < \epsilon.$$

Możemy odjąć jedynki:

$$x > A \Rightarrow \left|\frac{2}{x}\right| < \epsilon$$

Dalej możemy założyć, że bierzemy tylko dodatnie x (interesują nas wartości x, które zbliżają się do plus nieskończoności), dzięki czemu możemy pozbyć się wartości bezwzględnej:

$$x > A \Rightarrow \frac{2}{x} < \epsilon$$

Mnożymy przez x:

$$x > A \Rightarrow 2 < x\cdot\epsilon$$

Dzielimy przez ε:

$$x > A \Rightarrow \frac{2}{\epsilon} < x$$

Z tych przekształceń wynika, że x musi być większe niż 2/ε. Jeśli więc za A wybierzemy jakąś liczbę, która będzie większa niż 2/ε, znajdziemy próg, którego szukaliśmy.

W poprzedniej próbie wybraliśmy $\epsilon=\frac12$, więc za A powinniśmy wybrać liczbę, która jest większa niż $2/\frac12=4$. Wybraliśmy A = 6, co jest w porządku.