Granica niewłaściwa w punkcie właściwym

Granica funkcji to jedno z najważniejszych pojęć analizy matematycznej. Opisuje zachowanie jakiejś funkcji w otoczeniu określonego punktu, dzięki czemu możemy na przykład zdefiniować ciągłość funkcji. Granica funkcji pomoże nam zrozumieć zachowanie funkcji nawet w miejscach, w których funkcja w ogóle nie jest określona.

Granica niewłaściwa w punkcie właściwym

W poprzedniej części mówiliśmy o granicy właściwej w punkcie właściwym. Punkt x₀ jest właściwy, jeśli x₀ ∈ ℝ, czyli jeśli jest liczbą rzeczywistą. Punktem możemy jednak nazwać także nieskończoność – taki punkt nazywamy wtedy niewłaściwym. Rozróżniamy plus i minus nieskończoność: +∞, −∞. Granica niewłaściwa w punkcie właściwym oznacza więc, że mamy jakąś funkcję f, punkt właściwy x₀, a granica w tym punkcie jest równa nieskończoności. Przykładem takiej funkcji może być $f(x)=|\frac{1}{x}|$. Wykres:

W punkcie właściwym x₀ = 0 funkcja ma granicę plus nieskończoność – z której strony byśmy się nie zbliżali do x₀, wartość zawsze rośnie do nieskończoności. Niech x₀ będzie punktem skupienia dziedziny funkcji f. Funkcja f ma w punkcie x₀ granicę +∞, jeśli

$$(\forall K\in\mathbb{R}),(\exists\delta > 0),(\forall x\in D(f)),(0 < |x-x_0| < \delta\Rightarrow f(x) > K)$$

i −∞, jeśli

$$(\forall K\in\mathbb{R}),(\exists\delta>0),(\forall x\in D(f)),(0 < |x-x_0| < \delta\Rightarrow f(x) < K).$$

Jeśli definicja jest spełniona, możemy napisać

$$\lim_{x\rightarrow x_0}f(x)=\pm\infty.$$

Co mówi nam definicja? Zmienna K oznacza, w pierwszej definicji, pewien próg na osi y. Definicja mówi, że choćbyśmy wybrali nie wiadomo jak duży (wysoki) próg K, zawsze znajdziemy jakieś sąsiedztwo punktu x₀ o promieniu δ, przy czym wszystkie elementy z tego sąsiedztwa będą miały wartość funkcji większą niż K.

Dla przykładu spróbujmy pokazać definicję na poprzedniej funkcji – będziemy szukać granicy w punkcie x₀ = 0. Wybierzmy K = 4:

Teraz musimy znaleźć taką wartość δ, żeby wszystkie punkty z przedziału (−δ, 0) ∪ (0, δ) miały wartość funkcji większą niż K. Możemy wybrać na przykład δ = 0,2. Kiedy zaznaczymy to na rysunku, dostaniemy:

Widzimy, że wartości funkcji w przedziale (−δ, 0) ∪ (0, δ) leżą nad wartością K. Możemy to też obliczyć. Dla wartości x = −0,2 dostajemy f(−0,2) = |−1/0,2| = 5. Funkcja jest dla liczb ujemnych rosnąca, więc dla wszystkich x z przedziału (−0,2; 0) wartość funkcji będzie na pewno większa niż pięć, a więc także większa niż K = 4. Podobnie dla drugiego przedziału.

Na razie pokazaliśmy to tylko dla jednego konkretnego K. Jeśli funkcja ma mieć granicę plus nieskończoność, musi to zachodzić dla dowolnego K. Spróbujmy to udowodnić. Ponieważ f(x) = f(−x) (funkcja jest parzysta), wystarczy rozważyć tylko dodatnie wartości, tzn. ograniczyć się do przedziału (0, ∞).

Mamy dane jakieś K i musimy znaleźć takie δ, żeby dla wszystkich x ∈ (0, δ) zachodziło f(x) > K. Ponieważ funkcja jest dla dodatnich argumentów malejąca, wystarczy znaleźć takie δ, dla którego zachodzi f(δ) > K. Wtedy będzie to na pewno zachodzić także dla wszystkich x ∈ (0, δ). Teraz rozwiązujemy nierówność f(δ) > K, po podstawieniu:

$$\frac{1}{\delta} > K.$$

Całą nierówność mnożymy teraz przez δ. Wartość δ jest z definicji zawsze dodatnia, więc możemy sobie na to pozwolić. Dostaniemy:

$$1 > \delta\cdot K$$

Przyjmijmy teraz, że K > 0. Dla K ≤ 0 dowód jest banalny, bo f(x) > 0 dla wszystkich x. Teraz możemy całą nierówność podzielić przez K:

$$\frac{1}{K}>\delta.$$

To jest wynik. Jeśli będziemy mieli dane K, wartość δ znajdziemy tak, że weźmiemy dowolną liczbę, która jest mniejsza niż 1/K (i zgodnie z definicją większa od zera), i dostaniemy nasz przedział (0, δ).

W poprzednim przypadku mieliśmy K = 4. Jeśli podstawimy, przekonamy się, że 1/4>δ. Delta musi być mniejsza niż jedna czwarta. Wybraliśmy 0,2, czyli jedną piątą, i wyszło nam to poprawnie.