Granica niewłaściwa w punkcie niewłaściwym

Granica funkcji to jedno z najważniejszych pojęć analizy matematycznej. Opisuje zachowanie jakiejś funkcji w otoczeniu określonego punktu, dzięki czemu możemy na przykład zdefiniować ciągłość funkcji. Granica funkcji pomoże nam zrozumieć zachowanie funkcji nawet w miejscach, w których funkcja w ogóle nie jest określona.

Granica niewłaściwa w punkcie niewłaściwym

To połączenie poprzednich granic – szukamy granicy funkcji, gdy x dąży do plus lub minus nieskończoności, a sama granica jest również równa plus albo minus nieskończoności.

Mówimy, że ∞ jest granicą funkcji w punkcie ∞, jeśli

$$(\forall K \in \mathbb{R}),(\exists A\in\mathbb{R}),(\forall x \in D(f)),(x > A \Rightarrow f(x) > K)$$

i w punkcie −∞, jeśli

$$(\forall K \in \mathbb{R}),(\exists A\in\mathbb{R}),(\forall x \in D(f)),(x < A \Rightarrow f(x) > K).$$

Podobnie dla x zbliżającego się do −∞. Definicja łączy oba poprzednie przypadki. Mówi nam, że jeśli szukamy granicy w nieskończoności i ta ma być znowu nieskończonością, to dla każdego progu K na osi y znajdziemy taki próg A na osi x, że wszystkie wartości funkcji f(x) dla x > A, czyli za progiem A, będą większe niż wybrany próg K. Innymi słowy: funkcja f(x) rośnie nieograniczenie. Jakikolwiek próg wybierzemy na osi y, funkcja zawsze go w końcu przekroczy.

Możesz sobie wyobrazić prostą funkcję f(x) = x. Jeśli na osi y wybierzemy próg K, to dla wszystkich x > K dostaniemy wartości funkcji, które są większe niż K.