Pole trójkąta

Pole trójkąta możemy wyznaczyć na dwa główne sposoby. Albo uzupełnimy trójkąt do równoległoboku i obliczymy pole tego równoległoboku, albo skorzystamy ze wzoru Herona.

Uzupełnienie do równoległoboku

Najpierw przypomnimy sobie, jak liczyliśmy pole trójkąta wtedy, gdy był to trójkąt prostokątny. Uzupełniliśmy trójkąt do prostokąta, obliczyliśmy pole tego prostokąta i wynik podzieliliśmy przez dwa. Pokazuje to następujący rysunek:

Tyle że trójkąta, który nie jest prostokątny, nie da się tak łatwo uzupełnić do prostokąta. Możemy go za to uzupełnić do równoległoboku. Weźmy więc taki trójkąt ABC:

Ten trójkąt uzupełnimy do równoległoboku tak, że z punktu C poprowadzimy odcinek, który będzie równoległy do odcinka AB i tak samo długi. Potem poprowadzimy odcinek z punktu A tak, żeby był równoległy do odcinka BC i tak samo długi. Otrzymamy taki równoległobok:

Pytanie brzmi, jak obliczyć pole tego równoległoboku. Nie możemy pomnożyć dwóch sąsiednich boków jak w przypadku prostokąta. Z tego równoległoboku możemy jednak łatwo zrobić prostokąt, który będzie miał takie samo pole jak równoległobok. Trójkąty zaznaczone na czerwono mają przy tym równe pola:

Jeśli trójkąt AED przeniesiemy na miejsce trójkąta BFC, otrzymamy prostokąt o takim samym polu:

To już jest prostokąt, więc jego pole jest równe iloczynowi długości dwóch sąsiednich boków. Tylko jaką długość ma bok AE albo BF? Kiedy przyjrzysz się uważnie pogrubionemu pierwotnemu trójkątowi ABC, zauważysz, że długość boku AE jest dokładnie równa długości wysokości trójkąta poprowadzonej z wierzchołka C. Co więc możemy napisać o polu tego prostokąta? Że jest równe:

$$P_{\square}=|h_c|\cdot|AB|,$$

gdzie h_c to wysokość z wierzchołka C. Pole trójkąta jest wtedy równe połowie tego pola:

$$P_{\triangle}=\frac{|h_c|\cdot|AB|}{2}.$$

Wzór ogólny

Wzór z poprzedniego rozdziału możemy oczywiście uogólnić na dowolny z trzech boków:

$$\begin{eqnarray} P_{\triangle}&=&\frac{|h_a|\cdot|a|}{2},\\ P_{\triangle}&=&\frac{|h_b|\cdot|b|}{2},\\ P_{\triangle}&=&\frac{|h_c|\cdot|c|}{2}. \end{eqnarray}$$

Przy tym h_a, h_b i h_c oznaczają wysokości opuszczone na boki a, b i c.

Wzór Herona

Jeśli nie znasz długości żadnej wysokości trójkąta, ale znasz długości wszystkich boków, możesz obliczyć pole za pomocą wzoru Herona. Zachodzi:

$$P_{\triangle}=\sqrt{s\cdot(s-a)\cdot(s-b)\cdot(s-c)},$$

gdzie

$$s=\frac{a+b+c}{2}.$$

Połowę obwodu trójkąta oznaczamy tu literą s, w polskiej szkole zwykle literą p.