Środkowa trójkąta

Środkowa trójkąta to odcinek, który łączy wierzchołek trójkąta ze środkiem przeciwległego boku. Trójkąt ma dokładnie trzy środkowe, a ich punkt przecięcia to środek ciężkości trójkąta.

Przykład

Spójrz na poniższy trójkąt z zaznaczonymi środkowymi: Na czerwono zaznaczone są poszczególne środkowe. Podobnie jak przy wysokościach trójkąta również tutaj oznaczamy środkowe małą literą t z dolnym indeksem, który określa, do którego boku i którego wierzchołka środkowa należy. Ponieważ naprzeciw wierzchołka A leży bok a, środkowa będzie się nazywać t_a.

Środkowa dzieli trójkąt na dwa trójkąty o tym samym polu. W przeciwieństwie do wysokości trójkąta środkowe wyglądają tak samo we wszystkich rodzajach trójkątów.

Środek odcinka

Trzy punkty S_a, S_b i S_c to środki poszczególnych boków, czyli odcinków. Środek możesz wyznaczyć konstrukcyjnie za pomocą cyrkla i linijki. Na przykład środek boku AB znajdziesz tak, że narysujesz dwa jednakowe okręgi o środkach w wierzchołkach A i B. Te okręgi muszą mieć promień większy niż połowa długości odcinka AB — ale ten promień musi być w obu okręgach taki sam! Albo go oszacuj, albo narysuj okręgi o promieniu równym długości boku AB. Te dwa okręgi przetną się w dwóch punktach. Połącz te punkty odcinkiem, a tam, gdzie ten odcinek przetnie bok AB, leży środek boku AB.

Na zielono jest na rysunku zaznaczony środek ciężkości trójkąta, czyli coś w rodzaju środka trójkąta.

Środek ciężkości

Wszystkie środkowe przecinają się zawsze w jednym punkcie. Po tym poznasz, czy rysujesz dokładnie. Jeśli nie przecinają ci się w jednym punkcie, to rysowałeś albo niedokładnie, albo zupełnie źle. Środek ciężkości leży zawsze wewnątrz trójkąta, w przeciwieństwie do ortocentrum, które może leżeć także poza trójkątem.

Środek ciężkości to taki wyobrażony środek trójkąta: gdybyś chciał utrzymać trójkąt na czubku ołówka, to musiałbyś umieścić ołówek właśnie pod środkiem ciężkości, żeby trójkąt nie spadł.

Środek ciężkości dzieli ponadto każdą środkową w stosunku 2:1, licząc od wierzchołka. Oznacza to, że dwie trzecie długości środkowej leżą po jednej stronie środka ciężkości, a pozostała jedna trzecia po drugiej stronie. Dłuższa część środkowej jest zawsze „od strony wierzchołka” trójkąta. „Przy boku” jest za to część krótsza. Spójrz na rysunek:

Długość odcinka AT (niebieski odcinek) jest dwa razy większa niż długość odcinka TS_a (zielony odcinek). Przy tym odcinki AD, DT i TS_a mają tę samą długość. Podobnie jest z pozostałymi środkowymi.

Linia środkowa

Linia środkowa trójkąta to odcinek, którego końcami są środki dwóch boków trójkąta. Przyjrzyj się rysunkowi:

Punkty S_a, S_b i S_c są środkami boków, tak samo jak przy środkowych. Żeby otrzymać linię środkową, połączyliśmy za każdym razem dwa z tych punktów odcinkiem. Linie środkowe oznaczamy literą s z dolnym indeksem, w którym podajemy przeciwległy wierzchołek. Trójkąt, który w ten sposób powstaje, nazywamy trójkątem środkowym. Ciekawostką jest, że środek ciężkości tego trójkąta środkowego jest taki sam jak środek ciężkości pierwotnego trójkąta. W naszym przypadku jest to punkt T.

Obliczanie długości środkowej

Do obliczenia długości środkowej możemy użyć twierdzenia Apoloniusza. Załóżmy, że a, b, c to długości odpowiednich boków trójkąta, a t_a, t_b i t_c to długości środkowych:

$$\begin{eqnarray} t_a&=&\sqrt{\frac{2b^2+2c^2-a^2}{4}}\\ t_b&=&\sqrt{\frac{2a^2+2c^2-b^2}{4}}\\ t_c&=&\sqrt{\frac{2a^2+2b^2-c^2}{4}} \end{eqnarray}$$