Wysokość trójkąta

Wysokość trójkąta to odcinek. Jednym końcem tego odcinka jest wierzchołek trójkąta, a drugim punkt na przeciwległym boku trójkąta, przy czym sama wysokość musi być do tego boku prostopadła.

Trójkąt ostrokątny

Najlepiej będzie to widać na rysunku:

Wysokość poprowadziliśmy z wierzchołka C. Drugi punkt leży na przeciwległym boku AB (czyli na boku c), a odcinek CP_c jest prostopadły do boku c. Punkt P_c nazywamy spodkiem wysokości, a bok c podstawą. Spodek oznaczamy zwykle literą P z dolnym indeksem, w którym jest wierzchołek, z którego wysokość wychodzi. W tym przypadku jest to wierzchołek C.

Wysokość rysuje się całkiem łatwo: bierzesz linijkę i prowadzisz prostą prostopadłą do boku c tak, żeby przechodziła właśnie przez punkt C. To wszystko.

Wysokość możemy poprowadzić z każdego wierzchołka trójkąta. Wszystkie wysokości przecinają się w jednym punkcie, który nazywamy ortocentrum. Ortocentrum może leżeć wewnątrz trójkąta, ale nie musi. W trójkącie ostrokątnym ortocentrum leży wewnątrz trójkąta:

Na czerwono zaznaczone są wszystkie trzy wysokości trójkąta. Zauważ, że każda wysokość jest prostopadła do swojego boku. Wysokości oznaczamy małą literą h z dolnym indeksem, w którym zapisujemy, z którego wierzchołka wysokość wychodzi. W przypadku wysokości BP_b mówimy więc o wysokości h_b. Samo ortocentrum jest oznaczone zielonym punktem H.

Trójkąt rozwartokątny

W trójkącie rozwartokątnym trzeba zastosować pewien trik. Ortocentrum leży poza trójkątem, a niektóre wysokości w rzeczywistości nie mogą przeciąć boków, które powinny przeciąć. Rozwiązuje się to tak, że potrzebne boki trójkąta się „przedłuża”, żeby po prostu wszystko się zgadzało. Znowu spójrz na rysunek: Wyjdźmy od pogrubionego trójkąta ABC. Ten trójkąt jest rozwartokątny, kąt ACB ma miarę większą niż 90 stopni. Wysokość z wierzchołka C narysujemy bez problemu, ale już z wysokością z wierzchołka B będzie kłopot. Nie znajdziemy prostej prostopadłej do boku AC, która przecinałaby bok AC i jednocześnie przechodziła przez wierzchołek B. Rozwiążemy to tak, że narysujemy półprostą AC, czyli przedłużymy bok AC tak, jak trzeba. Prostej prostopadłej szukamy do tej półprostej. Tutaj już ją znajdziemy. Spodek wysokości leży na nowo powstałej półprostej. Tak samo narysujemy też pozostałą wysokość.

Teraz mamy narysowane wszystkie trzy wysokości trójkąta. Problem w tym, że te wysokości nigdzie się nie przecięły, więc nie wyznaczyły ortocentrum. Zaradzimy temu tak, że narysujemy trzy nowe półproste w kierunku wysokości, tak żeby przecięły się gdzieś nad trójkątem. Samych wysokości jednak nie będziemy w żaden sposób zmieniać.

Trójkąt prostokątny

W trójkącie prostokątnym jest najprościej, bo dwie wysokości pokrywają się z dwoma bokami trójkąta, a konkretnie z przyprostokątnymi. Ortocentrum leży wtedy w wierzchołku, który leży naprzeciw przeciwprostokątnej.

Długość wysokości

Czasem trzeba obliczyć długość wysokości. Wyjdziemy od rysunku wysokości w trójkącie ostrokątnym.

Mamy na nim zaznaczoną wysokość h_c, więc spróbujemy obliczyć jej długość. Wysokość h_c jest oczywiście prostopadła do boku AB, co możemy wykorzystać. Utworzymy nowy trójkąt, w którym wysokość będzie się łatwiej liczyć. Trójkąt utworzymy z wierzchołków B, C i P_c. Na rysunku zaznaczony na czerwono:

Teraz wykorzystamy funkcje trygonometryczne. Będziemy do tego potrzebować jeszcze kąta przy wierzchołku B, czyli kąta β. Potem to już proste zastosowanie sinusa, który jest stosunkiem przyprostokątnej przeciwległej do przeciwprostokątnej. Przyprostokątną przeciwległą jest w tym przypadku bok h_c, a przeciwprostokątną bok CB. Zachodzi więc:

$$\begin{eqnarray} \sin(\beta)&=&\frac{|h_c|}{|BC|}\\ |h_c|&=&\sin(\beta)\cdot|BC| \end{eqnarray}$$

Kąt β ma miarę około $53^\circ8^{\prime}$, a bok BC ma długość 5. Po podstawieniu otrzymujemy:

$$|h_c|=\sin(53^\circ8^{\prime})\cdot5=0{,}8\cdot5=4.$$

Wysokość h_c ma długość cztery.