✖

Liczby zespolone

Kapitoly: Liczby zespolone, Interpretacja geometryczna liczb zespolonych, Postać trygonometryczna liczby zespolonej

Liczby zespolone są rozszerzeniem liczb rzeczywistych. W zbiorze liczb rzeczywistych możemy wykonywać większość zwykłych działań, takich jak dodawanie, odejmowanie, mnożenie i dzielenie (oprócz dzielenia przez zero). Możemy w nim też wyciągać pierwiastki, ale tylko z liczb nieujemnych. To jest luka, na którą trafimy na przykład wtedy, gdy rozwiązujemy równanie kwadratowe i wyjdzie nam ujemny wyróżnik. Tę lukę łatają właśnie liczby zespolone.

Czym jest liczba zespolona

Od zwykłych liczb zespolone różnią się przede wszystkim tym, że składają się z dwóch części — rzeczywistej i urojonej. Liczba zespolona to uporządkowana para liczb (x, y), w której liczba x jest częścią rzeczywistą, a liczba y częścią urojoną. Jeśli część rzeczywista jest równa zeru, mówimy o liczbie czysto urojonej. Same liczby x i y są rzeczywiste.

Zbiór liczb zespolonych oznaczamy wielką literą C: $\mathbb{C}$.

Równość liczb zespolonych: w odróżnieniu od zwykłych liczb liczby zespolone mają dwie składowe. Żeby więc dwie liczby zespolone były równe, muszą być równe w obu składowych. Dlatego te liczby zespolone są parami różne: (2, 3)≠(0, 3)≠(2, 0). Liczby zespolone z1 = (1,2) i z2 = (1,2) są sobie równe: z1 = z2.

Postać algebraiczna i jednostka urojona

Liczby zespolone zapisuje się częściej w postaci algebraicznej, która wygląda następująco. Liczba zespolona (x, y) ma postać algebraiczną x + yi, gdzie i nazywamy jednostką urojoną. Dla kwadratu jednostki urojonej zachodzi bardzo ważna zależność:

$$i^2=-1$$

Z tej równości będziemy dalej często korzystać, podobnie jak z kolejnych potęg. Wyższe potęgi da się już bowiem obliczyć zwykłym sposobem. Jeśli na przykład chcemy uprościć i3, możemy według zasad działań na potęgach rozłożyć to wyrażenie na i2 · i. Wiemy już, że i2 jest równe minus jeden. Drugiego czynnika już nie rozłożymy, więc dostajemy: i3 = −i.

$$\Large i^3=\underbrace{i^2}_{-1}\cdot \underbrace{i}_{i}=-i$$

Podobnie z i4. Możemy je rozłożyć na i2 · i2, a ponieważ i2 = −1, dostajemy: −1 · − 1 = 1.

$$\Large i^4=\underbrace{i^2}_{-1}\cdot\underbrace{i^2}_{-1}=-1\cdot-1=1$$

Zatem i4 = 1. Ten fakt przydaje się, gdy obliczamy jeszcze wyższe potęgi jednostki urojonej. Jeśli na przykład obliczamy i7, możemy to rozłożyć na i4 · i3. Wiemy, że i4 = 1, więc dostajemy: 1 · i3. A wiemy też, że i3 = −i. Wynik to: 1 · (−i) = −i.

Dodawanie i mnożenie

Liczby zespolone możemy dodawać i mnożyć. Przy dodawaniu dwóch liczb zespolonych z1 i z2 po prostu dodajemy osobno części rzeczywiste i osobno części urojone:

$$z_1+z_2=(x_1+y_1i) + (x_2+y_2i)=(x_1+x_2)+(y_1+y_2)i$$

Przykład: z1 = 3 + 7i i z2 = 5 + 8i. Suma wygląda tak: z1 + z2 = (3 + 5)+(7 + 8)i = 8 + 15i.

Iloczyn dwóch liczb zespolonych jest już trochę bardziej skomplikowany, ale da się go rozpisać jako zwykłe mnożenie nawiasów. Podstawowy wzór wygląda tak:

$$z_1\cdot z_2=(x_1+y_1i) \cdot (x_2+y_2i)=(x_1x_2-y_1y_2)+(x_1y_2+x_2y_1)i$$

A jak do niego doszliśmy? Spróbujmy pomnożyć z1 · z2 tak samo, jak mnożylibyśmy zwykłe nawiasy. Dostaniemy:

$$z_1\cdot z_2=x_1x_2+x_1y_2i+x_2y_1i+y_1y_2i^2$$

Ponieważ i2 = −1, po przekształceniu ostatniego wyrazu dostajemy:

$$z_1\cdot z_2=x_1x_2+x_1y_2i+x_2y_1i-y_1y_2$$

Teraz wystarczy zebrać razem wyrazy bez jednostki urojonej i wyrazy z nią:

$$z_1\cdot z_2=(x_1x_2-y_1y_2)+(x_1y_2+x_2y_1)i$$

Przykład. Pomnóżmy liczby 5 + 6i i 4 + 7i. Dostaniemy:

$$(5+6i)\cdot(4+7i)=20+35i+24i+42i^2=20+59i-42=-22+59i$$

Liczby przeciwne, odwrotne i sprzężone

  • Liczba przeciwna do liczby zespolonej x + yi ma postać −x − yi. Podobnie jak w przypadku liczb rzeczywistych liczbę przeciwną otrzymamy, mnożąc daną liczbę zespoloną przez minus jeden. Przykład: liczbą przeciwną do 2 + 7i jest −2 − 7i. Liczbą przeciwną do −5 + 8i jest 5 − 8i itd.

  • Liczba odwrotna do liczby zespolonej x + yi ma postać $\frac{1}{x+yi}$. Liczba odwrotna do liczby 4 − 2i ma więc postać $\frac{1}{4-2i}$.

  • Liczba sprzężona do liczby x + yi ma postać x − yi. Zwykle oznaczamy ją kreską nad literą: $\overline{z}$, ewentualnie gwiazdką: z*. Taka liczba to liczba sprzężona do liczby zespolonej z. Liczbą sprzężoną do liczby 2 + 9i jest liczba 2 − 9i.

Odejmowanie i dzielenie

Skoro mamy już zdefiniowaną liczbę przeciwną i odwrotną, możemy zdefiniować także odejmowanie i dzielenie. Jeśli chcemy odjąć dwie liczby zespolone, z1 − z2, to do liczby z1 dodajemy liczbę przeciwną do liczby z2. W praktyce dostajemy prosty wzór:

$$z_1-z_2=(x_1+y_1i) - (x_2+y_2i) = (x_1-x_2)+(y_1-y_2)i$$

Podobnie dzielenie z1 / z2 zamieniamy na mnożenie: mnożymy $z_1\cdot z_2^\prime$, gdzie $z_2^\prime$ jest liczbą odwrotną do liczby z2.

Moduł

Wartość bezwzględną liczby zespolonej z nazywamy jej modułem i obliczamy ją ze wzoru:

$$|z|=\sqrt{x^2+y^2} = \sqrt{z\cdot \overline{z}}$$

(Pod pierwiastkiem to drugie z to liczba sprzężona do z.) Znaczenie tego wzoru dobrze widać w geometrycznej interpretacji liczb zespolonych.

Każdą liczbę zespoloną, której moduł jest równy jeden, nazywamy jednostką zespoloną (czyli po prostu liczbą zespoloną o module 1). Przykłady jednostek zespolonych: 1, i, $\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}i$.

Własności modułu:

  • Moduł liczby zespolonej jest liczbą rzeczywistą.
  • |z|≥0
  • |z| = |−z| = |z*|, gdzie z* jest liczbą sprzężoną.