Równanie kwadratowe z parametrem

Równanie kwadratowe z parametrem różni się od zwykłego równania kwadratowego tym, że zawiera dodatkowo parametr, często oznaczany literą p albo m. Naszym zadaniem jest wtedy ustalić, jakie rozwiązania ma równanie kwadratowe w zależności od tego parametru p.

Pierwszy przykład

Mamy następujące równanie kwadratowe z parametrem p:

$$x^2+2px+9=0.$$

Jakie rozwiązania ma to równanie w zależności od parametru p? Możemy wyróżnić w sumie trzy przypadki — równanie nie ma rozwiązania w zbiorze liczb rzeczywistych, równanie ma dwa jednakowe rozwiązania albo równanie ma dwa różne rozwiązania. Te przypadki rozróżnimy za pomocą wyróżnika.

Parametr zachowuje się jak stała, czyli dla powyższego równania kwadratowego mamy a = 1, b = 2p i c = 9. Teraz obliczymy wyróżnik tak, jak zawsze:

$$D=b^2-4ac=4p^2-4\cdot1\cdot9=4p^2-36.$$

Wyróżnik wyszedł nam więc D = 4p² − 36. Teraz musimy ustalić, kiedy ten wyróżnik jest dodatni, ujemny, a kiedy równy zeru.

Zacznijmy od najprostszego przypadku, kiedy wyróżnik jest równy zeru. Musimy więc rozwiązać równanie 4p² − 36 = 0. Dla jakich p to zachodzi? To jest równanie kwadratowe bez wyrazu liniowego i rozwiązuje się je łatwo:

$$\begin{eqnarray} 4p^2-36&=&0\\ p^2-9&=&0\\ p^2&=&9\\ p&=&\pm3 \end{eqnarray}$$

Jeśli parametr p jest równy plus albo minus trzy, równanie kwadratowe ma jedno rozwiązanie podwójne.

Teraz rozstrzygniemy, kiedy wyróżnik jest dodatni. Rozwiązujemy więc nierówność kwadratową

$$4p^2-36>0.$$

Miejsca zerowe funkcji f(p) = 4p² − 36 już znamy, obliczyliśmy je w poprzednim kroku. Złożymy z nich dwa przedziały, jeden „wewnętrzny”, a drugi „zewnętrzny”.

$$\begin{eqnarray} I_1&=&(-\infty,-3)\cup(3, \infty)\\ I_2&=&(-3, 3) \end{eqnarray}$$

W jednym z tych przedziałów funkcja f(p) jest dodatnia, w drugim ujemna. Sprawdzimy to, podstawiając do funkcji jakiś punkt z jednego z przedziałów. Najprościej podstawić zero z przedziału I₂. Mamy f(0) = 0 − 36 = −36. W przedziale I₂ funkcja jest więc ujemna, a w przedziale I₁ dodatnia.

Wynika z tego, że w przedziale I₁ równanie ma dwa różne rozwiązania, a w przedziale I₂ nie ma żadnego rozwiązania rzeczywistego. Możesz obejrzeć wykres funkcji f(p) = 4p² − 36. W punktach plus i minus trzy jest równa zeru, w przedziale I₂ jest ujemna, a w przedziale I₁ dodatnia.

Obliczenie rozwiązań równania

Zostało nam jeszcze obliczyć rozwiązania równania w tych przypadkach, w których równanie ma rozwiązania. Zaczniemy od przypadku, gdy równanie ma jedno rozwiązanie podwójne, czyli gdy wyróżnik jest równy zeru. Tak jest wtedy, gdy parametr jest równy plus albo minus pierwiastkowi z dziewięciu.

Przypadek pierwszy, p = 3. Równanie ma wtedy postać:

$$x^2+2\cdot3x+9=0.$$

Obliczymy wyróżnik tego równania. Powinien wyjść równy zeru:

$$D=b^2-4ac=6^2-4\cdot1\cdot9=36-36=0.$$

Rozwiązanie obliczymy ze wzoru:

$$x=\frac{-b\pm\sqrt{0}}{2a}=\frac{-6}{2}=-3.$$

Przypadek drugi, p = −3. Równanie ma postać:

$$x^2-2\cdot3x+9=0.$$

Obliczamy wyróżnik:

$$D=b^2-4ac=(-6)^2-4\cdot1\cdot9=36-36=0.$$

Obliczamy rozwiązanie:

$$x=\frac{-b\pm\sqrt{0}}{2a}=\frac{6}{2}=3.$$

W ostatnim kroku zostaje nam już tylko obliczyć, jakie rozwiązania ma równanie, jeśli parametr należy do zbioru (−∞,−3)∪(3, ∞). Wyróżnik mamy obliczony, więc rozwiązania równania obliczymy ze wzoru.

$$x_{1{,}2}=\frac{-2p\pm\sqrt{4p^2-36}}{2}=\frac{-2p\pm\sqrt{4(p^2-9)}}{2}=\frac{-2p\pm2\sqrt{p^2-9}}{2}=-p\pm\sqrt{p^2-9}.$$

Na końcu skróciliśmy ułamek przez dwa. To są więc rozwiązania równania kwadratowego, jeśli parametr należy do przedziału (−∞,−3)∪(3, ∞). Jeśli parametr należy do przedziału (−3, 3), równanie nie ma rozwiązania rzeczywistego.