Wyróżnik

Wyróżnik to liczba, za pomocą której możemy obliczyć rozwiązania ogólnego równania kwadratowego, a także ustalić, czy równanie w ogóle ma rozwiązania i ile ich ma.

Wzór i podstawowe zależności

Najpierw przypomnijmy sobie postać ogólną równania kwadratowego:

$$ax^2+bx+c=0,\quad a\ne0$$

gdzie a, b, c są liczbami rzeczywistymi. Wyróżnik, oznaczmy go D (w polskiej szkole zapisuje się go zwykle grecką literą delta), obliczamy tak:

$$D=b^2-4\cdot a\cdot c$$

Przykład: weźmy równanie kwadratowe 3x² + 5x − 7 = 0. Dla tego równania a = 3, b = 5, c = −7. Wyróżnik obliczymy tak:

$$D=5^2-4\cdot3\cdot(-7)=25+4\cdot3\cdot7=25+84=109$$

Wynik to więc 109. Co mówi nam ta liczba? Jeśli wyróżnik wyjdzie…

• dodatni, to równanie ma dwa różne rozwiązania rzeczywiste,
• równy zeru, to równanie ma dwa jednakowe rozwiązania rzeczywiste (jedno rozwiązanie podwójne),
• ujemny, to równanie nie ma żadnego rozwiązania w zbiorze liczb rzeczywistych. Ma jednak rozwiązania w zbiorze liczb zespolonych.

Jak obliczyć rozwiązania równania kwadratowego

Za pomocą wyróżnika możemy od razu obliczyć rozwiązania równania kwadratowego. Wzór na rozwiązania wygląda tak:

$$x_{1{,}2}=\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a},$$

gdzie D to wyróżnik. Cały wzór z rozpisanym wyróżnikiem wygląda tak:

$$x_{1{,}2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}.$$

Spróbujmy za pomocą tego wzoru obliczyć rozwiązania równania kwadratowego x² + 7x + 12 = 0. Najpierw obliczamy wyróżnik:

$$D=7^2-4\cdot1\cdot12=49-48=1.$$

Wyróżnik wyszedł dodatni, więc równanie ma dwa różne rozwiązania rzeczywiste. Obliczmy pierwsze z nich. Najpierw pierwiastek z wyróżnika dodamy, a w drugim kroku go odejmiemy:

$$x_1=\frac{-7+\sqrt{1}}{2}=\frac{-7+1}{2}=-\frac62=-3.$$

Pierwsze rozwiązanie wyszło −3. Drugie obliczymy, odejmując pierwiastek:

$$x_2=\frac{-7-\sqrt{1}}{2}=\frac{-7-1}{2}=-\frac82=-4.$$

Mamy już oba rozwiązania równania, x₁ = −3 i x₂ = −4.

Żeby opanować ten sposób, koniecznie musisz umieć poprawnie określić wartości a, b i c. Jak to zrobić, opisaliśmy w pierwszym artykule o równaniach kwadratowych.

A co to rozwiązanie oznacza graficznie, jak widać je na wykresie? Jeśli narysujesz wykres funkcji, która stoi po lewej stronie równania, zobaczysz, że wykres tej funkcji kwadratowej przecina oś x w dwóch punktach — w punktach x₁ = −3 i x₂ = −4.

Wyróżnik równy zeru

Jeśli wyróżnik wyjdzie równy zeru, oznacza to, że równanie ma rozwiązanie, ale tylko jedno; ściślej mówiąc dwa, ale jednakowe. Przykład: rozwiąż równanie x² − 10x + 25 = 0. Obliczamy wyróżnik:

$$D=(-10)^2-4\cdot1\cdot25=100-100=0.$$

Rozwiązanie obliczymy tak samo jak w poprzednim rozdziale, ze wzoru. Ponieważ jednak wyróżnik jest równy zeru, ze wzoru znika plus/minus pierwiastek z D, bo dodawalibyśmy/odejmowalibyśmy zero.

$$x_{1{,}2}=\frac{-(-10)}{2}=\frac{10}{2}=5.$$

Wyszło nam jedno rozwiązanie podwójne, x = 5. Co to oznacza graficznie? Że wykres tej funkcji dotyka osi x w dokładnie jednym punkcie, w swoim wierzchołku.

Wyróżnik ujemny

Jeśli wyróżnik wychodzi ujemny, to równanie kwadratowe nie ma rozwiązań w zbiorze liczb rzeczywistych. Równanie można rozwiązać w zbiorze liczb zespolonych, ale o tym będzie dopiero w osobnym artykule. Dla przykładu spróbujmy rozwiązać takie równanie kwadratowe: x² + x + 1 = 0. Wyróżnik:

$$D=1^2-4\cdot1\cdot1=1-4=-3.$$

Równanie kwadratowe nie ma więc rozwiązań w zbiorze liczb rzeczywistych. Możesz to sprawdzić — wielomian x² + x + 1 jest dodatni dla wszystkich liczb rzeczywistych. Jeśli na przykład podstawisz za x jedynkę, dostaniesz: 1 + 1 + 1 = 3. Jeśli x = −1, mamy 1 − 1 + 1 = 1. Jeśli x = 0, mamy 0 + 0 + 1 = 1. I podobnie dla innych liczb. Możesz też obejrzeć wykres funkcji y = x² + x + 1, nigdy nie przetnie osi x.

Wzory Viète’a

Wiemy już, jak obliczyć rozwiązania równania kwadratowego. Jaka jest jednak między nimi zależność? Spróbujmy oba rozwiązania x₁ i x₂ dodać:

$$\begin{eqnarray} x_1+x_2&=&\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}+\frac{-b-\sqrt{D}}{2a}\\ &=&\frac{-b+\sqrt{D}-b-\sqrt{D}}{2a}\\ &=&\frac{-2b}{2a}=-\frac{b}{a} \end{eqnarray}$$

Gdy dodamy rozwiązania równania kwadratowego ax² + bx + c = 0, dostaniemy iloraz −b/a. A co się stanie, gdy rozwiązania pomnożymy?

$$\begin{eqnarray} x_1\cdot x_2&=&\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}\cdot\frac{-b-\sqrt{D}}{2a}\\ &=&\frac{b^2+b\cdot\sqrt{D}-b\cdot\sqrt{D}-D}{4a^2}\\ &=&\frac{b^2-D}{4a^2}\\ &=&\frac{b^2-(b^2-4ac)}{4a^2}\\ &=&\frac{4ac}{4a^2}=\frac{c}{a} \end{eqnarray}$$

Jeśli więc rozwiązania pomnożymy, dostaniemy liczbę c/a. I to właśnie są wzory Viète’a. Jeszcze raz razem:

$$\begin{eqnarray} x_1+x_2&=&-\frac{b}{a}\\ x_1\cdot x_2&=&\frac{c}{a} \end{eqnarray}$$

Zauważ, że w mianowniku ułamka jest zawsze a. Szczególnym przypadkiem jest równanie kwadratowe, w którym a = 1. Wtedy wzory Viète’a możemy zapisać tak:

$$\begin{eqnarray} \mbox{jeśli } a=1:\\ x_1+x_2&=&-b\\ x_1\cdot x_2&=&c \end{eqnarray}$$

Możemy to wykorzystać przy szukaniu rozwiązań równań kwadratowych. Zamiast żmudnie liczyć wyróżnik, możemy sprawdzić, czy uda nam się znaleźć takie liczby x₁ i x₂, żeby zachodziły powyższe zależności. Przykład: znajdź rozwiązania równania x² + 8x + 15 = 0. Tutaj a = 1, więc możemy użyć prostszych wzorów Viète’a. Szukamy liczb x₁ i x₂ takich, żeby:

$$\begin{eqnarray} x_1+x_2&=&-8\\ x_1\cdot x_2&=&15 \end{eqnarray}$$

Jeśli ograniczymy się tylko do liczb całkowitych, to mamy w sumie cztery możliwości, jak w iloczynie dostać 15:

$$\begin{eqnarray} 1\cdot15&=&15\\ 3\cdot5&=&15\\ -3\cdot(-5)&=&15\\ -1\cdot(-15)&=&15 \end{eqnarray}$$

Teraz potrzebujemy, żeby suma liczb po lewej stronie dała −8. Taką sumę daje tylko jedna para, mianowicie −3 i −5. Te liczby są więc rozwiązaniami równania kwadratowego. Możemy je dla sprawdzenia podstawić do równania, musi wyjść zero:

$$\begin{eqnarray} (x=-3):\quad &&(-3)^2+8\cdot(-3)+15=9-24+15=0\\ (x=-5):\quad &&(-5)^2+8\cdot(-5)+15=25-40+15=0 \end{eqnarray}$$

Zgadza się. Jeśli znasz rozwiązania, możesz też zapisać równanie w czytelniejszej postaci. Jeśli x₁ i x₂ są rozwiązaniami równania ax² + bx + c = 0 oraz a = 1, to równanie możesz zapisać w postaci

$$(x-x_1)(x-x_2)=0.$$

Poprzednie równanie możemy więc zapisać w postaci:

$$(x-(-3))(x-(-5))=(x+3)(x+5)=0.$$