Równania kwadratowe w zbiorze liczb zespolonych

Jeśli przy rozwiązywaniu równania kwadratowego wyjdzie ci ujemny wyróżnik, oznacza to, że równanie nie ma rozwiązań w zbiorze liczb rzeczywistych. Takie równanie ma jednak zawsze rozwiązania w zbiorze liczb zespolonych.

Motywacja

Spróbujmy rozwiązać następujące równanie kwadratowe: x² + 2x + 5 = 0. Najpierw obliczamy wyróżnik: D = 4 − 20 = −16. Jak już wiemy, to równanie nie ma rozwiązań w zbiorze liczb rzeczywistych. Liczby zespolone mają jednak tę zaletę, że pozwalają nam wyciągnąć pierwiastek także z liczby ujemnej. Ponieważ i² = −1, możemy nasz wyróżnik zapisać w postaci −16 = 16i². Z tej liczby już pierwiastek wyciągniemy i dostaniemy 4i. Dokończmy obliczanie rozwiązań równania kwadratowego:

$$x_1=\frac{-2+\sqrt{16i^2}}{2}=\frac{-2+4i}{2}=\frac{2(-1+2i)}{2}=2i-1.$$

$$x_2=\frac{-2-\sqrt{16i^2}}{2}=\frac{-2-4i}{2}=\frac{2(-1-2i)}{2}=-2i-1.$$

Wzory i zależności

Z poprzedniego przykładu możemy wyprowadzić wzór na rozwiązania równania kwadratowego w przypadku, gdy wyróżnik jest ujemny:

$$x_{1{,}2}=\frac{-b\pm i\sqrt{|D|}}{2a}.$$

Wynika z tego, że każde równanie kwadratowe ma rozwiązanie. Jeśli wyróżnik jest nieujemny, wystarczą nam liczby rzeczywiste; jeśli wyróżnik jest ujemny, musimy rozwiązywać równanie w liczbach zespolonych. Ogólnie możemy powiedzieć, że każde równanie kwadratowe ma rozwiązanie w zbiorze liczb zespolonych.

Także dla tych zespolonych rozwiązań obowiązują wzory Viète’a. Najpierw wyprowadzenie dla sumy:

$$\begin{eqnarray} x_1+x_2&=&\frac{-b+i\sqrt{|D|}}{2a}+\frac{-b-i\sqrt{|D|}}{2a}\\ &=&\frac{-b+i\sqrt{|D|}-b-i\sqrt{|D|}}{2a}\\ &=&\frac{-2b}{2a}=-\frac{b}{a} \end{eqnarray}$$

A teraz dla iloczynu. Skorzystamy z tego, że wyróżnik jest ujemny, a ponieważ musimy wyciągnąć z niego pierwiastek, będziemy używać liczby minus D, która jest dodatnia. Zamiast |D| będziemy więc pisać −D, wynik jest taki sam.

$$\begin{eqnarray} x_1\cdot x_2&=&\frac{-b+i\sqrt{-D}}{2a}\cdot\frac{-b-i\sqrt{-D}}{2a}\\ &=&\frac{b^2+b\cdot i\sqrt{-D}-b\cdot i\sqrt{-D}-(-D)i^2}{4a^2}\\ &=&\frac{b^2+Di^2}{4a^2}\\ &=&\frac{b^2-D}{4a^2}\\ &=&\frac{b^2-(b^2-4ac)}{4a^2}\\ &=&\frac{4ac}{4a^2}=\frac{c}{a} \end{eqnarray}$$

Przykład

Rozwiąż równanie kwadratowe 2x² + 6x + 9 = 0. Obliczamy wyróżnik: D = 36 − 72 = −36. Wyszła liczba ujemna, więc użyjemy wzoru na rozwiązania zespolone i tylko podstawimy:

$$x_1=\frac{-b+i\sqrt{|D|}}{2a}=\frac{-6+i\sqrt{36}}{4}=\frac{-6+6i}{4}=\frac{3(i-1)}{2}=-\frac32+\frac{3i}{2}$$

$$x_2=\frac{-b-i\sqrt{|D|}}{2a}=\ldots=-\frac32-\frac{3i}{2}$$