Binomul lui Newton

Binomul lui Newton este o generalizare a formulelor clasice de tipul (a + b)² cu ajutorul tehnicilor de combinatorică.

Motivație

Cunoști, desigur, formulele pentru calculul lui (a + b)² sau (a + b)³:

$$\begin{array}{rcl}(a+b{)}^2& =& a^2+2ab+b^2\\ (a+b{)}^3& =& a^3+3a^{2}b+3a{b}^2+b^3\end{array}$$

Iar o întrebare firească este dacă aceste formule nu pot fi generalizate pentru orice număr natural n, adică dacă se poate calcula (a + b)ⁿ.

Deducere

Bineînțeles că se poate, și tocmai pentru asta servește binomul lui Newton. Să vedem cum ar continua această dezvoltare pentru n = 4 și n = 5.

$$\begin{array}{rcl}(a+b{)}^4& =& a^4+4a^{3}b+6a^2{b}^2+4a{b}^3+b^4\\ (a+b{)}^5& =& a^5+5a^{4}b+10a^3{b}^2+10a^2{b}^3+5a{b}^4+b^5\end{array}$$

Ar trebui să vezi deja un anumit tipar. Dacă avem expresia (a + b)ⁿ, în partea dreaptă începem întotdeauna cu termenul aⁿ. Al doilea termen conține tot variabila a, dar cu exponentul mai mic cu unu. De exemplu, la dezvoltarea lui (a + b)⁴ avem în partea dreaptă în primul termen a⁴, iar în al doilea a³. Fiecare termen următor conține variabila a cu exponentul mai mic cu unu decât termenul precedent. Variabila b, dimpotrivă, crește. La început nu avem variabila b, sau mai bine zis o avem, dar cu exponentul zero: b⁰ = 1. În al doilea termen, b are exponentul unu, apoi doi ș.a.m.d.

Peste tot se respectă regula simplă că suma exponenților trebuie să fie întotdeauna egală cu n. Dacă ne uităm la ultima dezvoltare, (a + b)⁵, de exemplu al treilea termen este 10a³ · b², iar suma exponenților variabilelor a și b este chiar 5.

Ultimul lucru este ce coeficienți (numerele din fața variabilelor) vor avea termenii. Cu siguranță observi că acești coeficienți sunt simetrici: la (a + b)⁴ avem coeficienții 1, 4, 6, 4, 1, la (a + b)⁵ avem: 1, 5, 10, 10, 5, 1. Îți amintesc că a⁴ = 1 · a⁴, de aceea scriu acolo acel unu, chiar dacă nu îl scriem explicit în formule. O altă legătură o vom arăta pe triunghiul lui Pascal.

Triunghiul lui Pascal

Triunghiul lui Pascal este un ajutor practic la calculul dezvoltării după binomul lui Newton. Triunghiul lui Pascal este format din numere și are proprietatea că numărul aflat sub alte două numere este egal cu suma lor. Sună complicat, dar din triunghiul însuși va fi clar:

Uită-te, de exemplu, la numărul patru. Deasupra lui se află numerele 1 și 3. Iar suma 1+3 dă chiar 4. La fel este și pentru celelalte numere.

Și cum folosim triunghiul lui Pascal? Dacă te uiți la numerele de pe fiecare rând, vei constata că seamănă foarte mult cu coeficienții din dezvoltarea binomială finală. De exemplu, la (a + b)² avem coeficienții 1, 2, 1, adică exact rândul al doilea. Pentru (a + b)⁴ avem coeficienții 1, 4, 6, 4, 1, adică exact rândul al patrulea. Dacă trebuie să calculăm (a + b)ⁿ, este suficient să ne uităm la rândul n al triunghiului lui Pascal.

Enunțul binomului lui Newton

Formal, binomul lui Newton se enunță astfel:

$$(a+b{)}^n=\sum _{k=0}^n{C}_n^k{a}^{n-k}{b}^{k}a,b\in \mathbb{R};n\in \mathbb{N}$$

Suma se calculează de la zero până la n, inclusiv. Deci numărul final de termeni ai sumei este n + 1. Cel din față este numărul de combinări, un lucru din combinatorică, care reprezintă numărul de combinări diferite din care putem obține termenul dat al dezvoltării binomiale. Restul sunt doar variabilele cu exponenții potriviți. Observă că suma exponenților este într-adevăr egală cu n: n − k + k = n.

Exemple

Un exemplu simplu: calculează cu ajutorul binomului lui Newton (a + 2b)⁴. Mai întâi ne uităm în triunghiul lui Pascal la rândul al patrulea. Acesta ne spune că coeficienții vor avea forma: 1, 4, 6, 4, 1. Acum mai rămâne doar să completăm pe rând exponenții. În primul termen va fi doar a⁴:

$$(a+2b{)}^4=a^4+\dots$$

În al doilea termen exponenții sunt repartizați în perechea 3, 1, deci obținem a³(2b)¹. Ridicarea la puterea întâi nu schimbă nimic expresiei, deci putem scrie a³2b. Coeficientul celui de-al doilea termen este 4:

$$(a+2b{)}^4=a^4+4a^{3}2b+\dots$$

Al treilea termen va avea exponenții 2, 2. Aici atenție puțin, ridicăm la putere întregul 2b, adică astfel: (2b)², care este egal cu: (2b)² = 4b². Îl adăugăm în dezvoltare cu coeficientul 6:

$$(a+2b{)}^4=a^4+4a^{3}2b+6a^{2}4b^2+\dots$$

Al patrulea termen va avea forma a(2b)³. După ridicarea la putere obținem a8b³. Îl adăugăm cu coeficientul 4:

$$(a+2b{)}^4=a^4+4a^{3}2b+6a^{2}4b^2+4a8b^3+\dots$$

Iar ultimul termen va fi doar (2b)⁴ = 16b⁴:

$$(a+2b{)}^4=a^4+4a^{3}2b+6a^{2}4b^2+4a8b^3+16b^4.$$

Acum mai rămâne doar să aranjăm puțin. În termenul 4a³2b putem pune doiul la începutul termenului și înmulți 2 · 4 = 8. Rezultă astfel 8a³b. Dacă procedăm la fel cu restul, obținem rezultatul:

$$(a+2b{)}^4=a^4+8a^{3}b+24a^2{b}^2+32a{b}^3+16b^4.$$

Observă, te rog, că în acest moment coeficienții nu mai coincid cu numerele din triunghiul lui Pascal.