Problema Monty Hall

Problema celor trei uși, numită și problema Monty Hall, este o problemă de probabilitate care încurcă foarte mulți oameni.

Enunț

Avem trei uși. Prezentatorul Monty Hall pune în spatele uneia dintre uși o mașină, iar în spatele celorlalte două câte o capră. Sarcina ta este să găsești și să alegi ușa în spatele căreia se află mașina. Prezentatorul te invită să alegi una dintre cele trei uși, pe care le notăm A, B și C. Tu alegi o ușă, să zicem B. Apoi intervine prezentatorul, care dintre ușile rămase, adică A, C, o deschide pe cea în spatele căreia se ascunde capra – deci îți dezvăluie o ușă care sigur nu duce la mașină. Să spunem că deschide ușa A.

Miezul problemei este în pasul următor – prezentatorul îți oferă posibilitatea să îți schimbi alegerea. Ai ales mai întâi ușa B, apoi prezentatorul ți-a arătat că în spatele ușii A nu este mașina și îți propune să treci la ușa C. Dar poți și să rămâi la alegerea inițială B.

Ce decizi? Este mai probabil ca mașina să fie în spatele ușii B sau în spatele ușii C? Sau este totuna?

Rezolvare

Ai trei uși. O ușă a ieșit din joc, deci practic au rămas doar două uși. În spatele uneia dintre ele sigur se află mașina. Despre cele două uși rămase nu știi nimic, nu ai niciun alt indiciu. Așadar probabilitatea este, evident, 50% pentru fiecare ușă.

Cam așa gândește o mare parte dintre oameni, așa că nu te supăra dacă ai gândit și tu la fel. Rezolvarea este însă, desigur, greșită :-).

Rezolvarea corectă

Merită să îți schimbi alegerea și să treci la ușa pe care prezentatorul nu a eliminat-o. Ca să înțelegem, să scriem probabilitățile de la început. Când alegi prima dată o ușă, probabilitatea ca mașina să fie chiar în spatele ei este 1/3. Nu avem niciun alt indiciu, deci probabilitatea este distribuită uniform, 1/3 pentru fiecare ușă.

Dacă alegi ușa B, ai o șansă de 1/3 ca mașina să fie în spatele ei. În același timp, există o probabilitate de 2/3 ca mașina să se afle în spatele ușii A sau al ușii C. Este deci mai probabil ca mașina să fie în spatele ușilor pe care nu le-am ales. Acest lucru este important.

În pasul următor intervine prezentatorul și deschide una dintre ușile în spatele cărora nu este mașina. Prezentatorul deschide ușa A. Deci în spatele ușii A nu este mașina. Ce se întâmplă cu probabilitatea de 2/3? Știm că probabilitatea ca mașina să fie în spatele ușii A sau al ușii C este 2/3 și știm totodată că în spatele ușii A nu este. Probabilitatea de 2/3 se „mută” astfel pe ușa C. Șansa ca mașina să fie în spatele ușii C este 2/3.

Șansa pentru ușa B rămâne însă aceeași, nu s-a schimbat deloc. Avem deci o șansă de 1/3 ca mașina să fie în spatele ușii B, pe care am ales-o, și o șansă de 2/3 să fie în spatele ușii C, la care ne putem schimba alegerea. Este deci rezonabil să ne schimbăm alegerea.

Mai multe uși

Exemplul se înțelege poate mai bine dacă mărim numărul de uși și modificăm problema astfel: avem zece uși. La început concurentul alege o ușă, iar prezentatorul deschide toate ușile, în afară de cea pe care am ales-o și de cea în spatele căreia este mașina. Enunțul este practic același ca în exemplul anterior, doar că acolo, când prezentatorul deschidea toate ușile, deschidea doar o ușă, pentru că nu putea deschide mai multe.

La început alegi ușa 1. Șansa ca mașina să fie în spatele ei este 1/10. Există o probabilitate de 9/10 ca mașina să fie în spatele altor uși. Apoi prezentatorul elimină 8 uși în spatele cărora sigur nu este mașina și rămân din nou doar două uși. Șansa ca mașina să fie în spatele ușii pe care ți-a lăsat-o prezentatorul este 9/10, în timp ce șansa ca ea să fie în spatele ușii alese de tine rămâne 1/10.

Alte surse

• Wikipedia