Bazele statisticii

Statistica este știința care încearcă să studieze date reale și, cu ajutorul teoriei probabilităților, să le descrie.

Secțiune proprie pentru statistică

Acesta este un articol vechi și depășit; statistica are acum propria secțiune, cu articolul introductiv Noțiuni de bază de statistică.

Noțiuni de bază

În statistică se lucrează cu câteva noțiuni de bază, pe care le descriem aici.

În primul rând este vorba despre populația statistică, care este o mulțime finită de date pe care vrem să le studiem. Datele pot fi oarecare, practic poate fi orice. Dacă vrei să studiezi salariul mediu din România, populația statistică va fi mulțimea tuturor oamenilor din România. Numărul de elemente ale populației statistice se numește volumul populației. Volumul populației statistice definite de noi ar fi astfel egal cu numărul de locuitori ai României.

Apoi există noțiunea de unitate statistică, care este un element concret al populației statistice. În cazul nostru, unitatea statistică ar fi o persoană concretă.

În sfârșit, avem caracteristica statistică, adică ceea ce vrem să măsurăm. În exemplul nostru, caracteristica statistică ar fi chiar salariul. Caracteristica statistică poate fi calitativă sau cantitativă. O caracteristică cantitativă (cantitate = mărime, număr) este una care se poate exprima prin numere (de exemplu chiar salariul, înălțimea, numărul de copii, …), iar o caracteristică calitativă se exprimă prin cuvinte (culoarea, da/nu, profesia, …).

Frecvențe

Frecvența poate fi relativă sau absolută și arată de câte ori apare o valoare a caracteristicii în populația statistică – fie absolut, fie relativ la numărul total de elemente ale populației.

Este important că, atunci când calculăm frecvența, trebuie să aplicăm caracteristica statistică, pentru că, dacă am vrea să calculăm frecvența absolută a unei unități statistice, am ajunge neapărat fie la numărul zero, fie la unu, deoarece populația statistică este o mulțime, iar o mulțime ca atare nu permite să existe în ea mai multe elemente identice.

Așadar, frecvența absolută a valorii z a caracteristicii statistice arată numărul de apariții ale lui z în populația statistică S. Exemplu: să considerăm o clasă de zece elevi. Fiecare elev a primit în catalog o notă la matematică, de la unu la cinci. Notele sunt înregistrate în tabelul următor:

$$\begin{array}{cccccccccc}1& 2& 3& 4& 5& 6& 7& 8& 9& 10\\ 2& 5& 3& 2& 1& 1& 2& 4& 1& 3\end{array}$$

Observație: populația statistică pentru acest exemplu ar fi cei zece colegi, ceva de felul

$$S=\{\text{Andrei},\text{Veronica},\text{Mihai},\dots \}$$

Pentru simplitate, în primul rând al tabelului avem un identificator numeric al elevului; în primul rând se află astfel unitățile statistice, adică elementele populației statistice. În al doilea rând avem valorile caracteristicii statistice, adică valorile „nota finală la matematică” a elevului respectiv.

Frecvența absolută a valorii (a notei din catalog) z = 3 ar fi astfel egală cu doi, doar doi elevi au primit nota trei (sunt „elevii” 3 și 10). Frecvența absolută a valorii z = 1 ar fi trei („elevii” 5, 6 și 9).

Frecvența relativă arată ce procent dintre valorile caracteristicii din populația statistică este egal cu valoarea z. Frecvența relativă a valorii z se calculează astfel:

$$r=\frac{z_a}{|S|},$$

unde z_a este frecvența absolută a valorii z, iar |S| este volumul populației statistice, adică numărul de elemente. Frecvența relativă a notei trei ar fi astfel:

$$r_3=\frac{2}{10}=\frac{1}{5}.$$

Volumul populației noastre este zece, pentru că avem în clasă zece elevi. Scrierea în procente se obține înmulțind cu o sută, deci am obține 20%. Frecvența relativă a notei unu ar fi

$$r_1=\frac{3}{10}.$$

Media aritmetică

Media aritmetică, sau adesea doar media, este media tuturor valorilor din populația statistică. Prin cuvântul valoare se înțelege valoarea obținută după aplicarea caracteristicii statistice. Media se calculează adunând toate valorile și împărțindu-le la numărul de valori din populație. Deci cam așa:

$$m_a=\frac{x_1+x_2+x_3+\dots +x_n}{n}=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{x}_i$$

Am adăugat și scrierea cu ajutorul sumei, în caz că ți se pare mai clară. Dar este suficientă și expresia precedentă cu fracție. Valorile x reprezintă toate valorile populației noastre.

Exemplu: luăm datele din tabelul precedent și calculăm nota medie pe elev.

$$m_a=\frac{2+5+3+2+1+1+2+4+1+3}{10}=\frac{24}{10}=2,4$$

În clasa noastră nota medie este 2,4. După cum vezi, media aritmetică ne poate da și o valoare care de fapt nu este deloc validă – nu poți da nota 2,4.

Media aritmetică este nepotrivită și atunci când o parte dintre date au o valoare fundamental diferită de restul datelor. Astfel, dacă avem o populație cu valorile 1, 3, 2, 5, 4, 2, 75, media aritmetică ne iese

$$m_a=\frac{1+3+2+5+4+2+75}{7}\approx 13,14.$$

Vedem că valoarea obținută este departe de toate valorile din populație. Este de câteva ori mai mare decât primele șase numere și de câteva ori mai mică decât ultima valoare. Aceasta este o problemă pe care o poate rezolva, de exemplu, mediana, vezi mai departe. Cel puțin știi acum de ce două treimi dintre oameni nu ajung la salariul mediu – există un grup mic de oameni care au salarii mult peste standard, ceea ce ridică media aritmetică.

Media geometrică

Media geometrică se calculează asemănător cu media aritmetică, doar că în loc de adunare se folosește înmulțirea, iar în loc de împărțire radicalul. Așadar, media geometrică se calculează astfel:

$$m_g=\sqrt[n]{x_1\cdot x_2\cdot x_3\cdot \dots \cdot x_n}=\sqrt[n]{\prod _{i=1}^n{x}_i}$$

Media geometrică poate fi folosită ca indicator de creștere. Pentru exemplu, presupunem că prețul unui produs a crescut într-un an cu 10%, în anul următor cu 15% și în următorul cu 5%. Prețul inițial c a ajuns astfel, după acești trei ani, la valoarea

$$1,1\cdot 1,15\cdot 1,05c=\mathrm{1,328}25c.$$

Media geometrică a acestor coeficienți ar fi:

$$m_g=\sqrt[3]{1,1\cdot 1,15\cdot 1,05}\approx \mathrm{1,099}2419$$

Ce înseamnă asta? Că, dacă prețul s-ar înmulți în fiecare an exact cu numărul 1,0992419 (adică ar crește cu aproximativ 9,92%), prețul final ar ajunge la aceeași valoare:

$$\mathrm{1,099}{2419}^3\approx \mathrm{1,328}25$$

Valoarea modală și mediana

Valoarea modală a unei caracteristici este valoarea care are cea mai mare frecvență și se notează Mo(x). Dacă ne întoarcem la exemplul cu notele, valorile modale sunt 1 și 2, deoarece apar cel mai des – amândouă au frecvența absolută 3.

Mediana este apoi valoarea din mijloc și se notează Me(x). Dacă putem ordona valorile într-un șir crescător

$$x_1\le x_2\le x_3\le \dots \le x_n,$$

atunci mediana este valoarea aflată în mijlocul acestui șir. Valoarea din mijloc diferă în funcție de faptul că șirul are un număr impar sau par de termeni. Dacă numărul este impar, mediana este termenul de pe poziția

$$Me(x)=x_{\frac{n+1}{2}}$$

Dacă șirul are un număr par de termeni, atunci nu are un termen aflat chiar la mijloc (exemplu: șirul 1, 2, 3, 4 pur și simplu nu are termen de mijloc). De aceea luăm media celor două valori din mijloc (media valorilor 2 și 3). Așadar, formula pentru n par:

$$Me(x)=\frac{x_{n/2}+x_{(n+2)/2}}{2}$$

Să ne întoarcem la exemplul care ilustra media aritmetică folosită nepotrivit. Aveam populația de valori s = 1, 3, 2, 5, 4, 2, 75. Valoarea modală ar fi egală cu doi, este singurul număr care se repetă. Pentru a calcula mediana, ordonăm numerele într-un șir:

$$a_i=1,2,2,3,4,5,75.$$

Șirul are șapte termeni, deci termenul din mijloc este a₄, iar acesta este egal cu trei.