Probabilitatea

Probabilitatea unui eveniment aleator ne arată ce șanse avem ca evenimentul respectiv să se producă. Un exemplu tipic este aruncarea unui zar obișnuit. Ne putem întreba „care este probabilitatea să apară numărul cinci?” Probabilitatea o exprimăm fie ca un număr din intervalul [0, 1], fie în procente, adică de la 0% până la 100%.

Definiții înrudite

Despre orice acțiune repetată care depinde de întâmplare spunem că este un experiment aleator. De exemplu, aruncarea unui zar sau extragerea Loto 6/49 este un experiment aleator. Mai avem nevoie de mulțimea tuturor rezultatelor posibile ale experimentului aleator – acestea sunt toate posibilitățile care pot apărea la experimentul respectiv. De exemplu, pe zar pot apărea numerele de la unu la șase, deci mulțimea tuturor rezultatelor posibile, pe care o notăm cu ω (omega), ar arăta pentru zar astfel: ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. La Loto 6/49 ar fi toate combinările care pot fi extrase.

Orice submulțime A ⊆ ω o numim eveniment (aleator). De exemplu, evenimentul „pe zar apare un număr par” l-am scrie A = {2, 4, 6}. Evenimentul „pe zar apare un număr mai mare decât cinci” l-am scrie A = {6} și așa mai departe. Dacă aruncăm zarul (= efectuăm experimentul) și pe zar apare numărul x, atunci, dacă x ∈ A, spunem că evenimentul s-a produs, iar în caz contrar spunem că evenimentul nu s-a produs. Dacă rămânem la evenimentul „pe zar apare un număr par” și ne apare x = 2, atunci x ∈ A, adică 2 ∈ {2, 4, 6}, și evenimentul s-a produs.

Există două tipuri speciale de evenimente: evenimentul sigur și evenimentul imposibil. Un eveniment este sigur dacă se produce la fiecare experiment, ceea ce înseamnă că A = ω. La zaruri ar fi evenimentul „apare un număr mai mic decât 7”. Acesta apare cu siguranță. Opusul este evenimentul imposibil, care ar arăta astfel: A = ∅, iar în cuvinte, de exemplu, „pe zar apare un ghiveci de flori”. Ei bine, în timpul aruncării zarului ne poate cădea de pe masă un ghiveci de flori, dar cu siguranță nu va apărea un ghiveci pe zar, pentru că acolo sunt doar numerele de la 1 la 6.

Probabilitatea unui eveniment

Probabilitatea unui eveniment ne spune cât de mult ne putem aștepta ca evenimentul respectiv să se producă. Probabil bănuim cu toții că pe zar apare un număr par mai des decât exact numărul cinci. Probabilitatea transformă această bănuială în numere exacte. Mai întâi să stabilim câteva ipoteze de care vom avea nevoie.

Presupunem că pentru experimentul aleator sunt îndeplinite condițiile:

• Numărul rezultatelor posibile este finit (adică ω este o mulțime finită).
• Două rezultate nu pot apărea simultan (adică pe zar nu putem arunca în același timp numărul 3 și numărul 6).
• Fiecare rezultat este la fel de posibil (adică avem aceleași șanse să aruncăm pe zar numărul 4 ca și numărul 6 sau 1).

Primele două condiții sunt destul de firești, ultima este puțin restrictivă, dar deocamdată ne descurcăm cu ea. Atunci putem spune că probabilitatea evenimentului A, notată P(A), este egală cu

$$P(A)=\frac{|A|}{|\omega |}.$$

Cu alte cuvinte: numărul cazurilor favorabile împărțit la numărul cazurilor posibile. (Barele verticale din formula de mai sus reprezintă cardinalul mulțimii.) Probabilitatea de a arunca un număr par pe zar ar fi deci egală cu:

$$P(\text{par})=\frac{|\{2,4,6\}|}{|\{1,2,3,4,5,6\}|}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}=0,5.$$

Adesea exprimăm probabilitatea sub formă de procente – este suficient să luăm probabilitatea calculată, s-o înmulțim cu o sută și să adăugăm semnul procentului: 0,5 · 100% = 50%. O probabilitate de cincizeci la sută ne spune de fapt că avem aceleași șanse ca numărul par să apară și ca să nu apară. Ceea ce are sens, când pe zar avem trei numere pare și trei impare.

Evenimentul sigur are probabilitatea 1, evenimentul imposibil 0. De ce? Am spus că pentru evenimentul sigur J avem J = ω, iar pentru evenimentul imposibil N avem N = ∅. Dacă înlocuim aceste evenimente în formulă, obținem:

$$P(J)=\frac{|\omega |}{|\omega |}=1;P(N)=\frac{|\varnothing |}{|\omega |}=\frac{0}{|\omega |}=0.$$

Exemple rezolvate

1. Care este probabilitatea să apară pe zar numărul cinci? Este simplu, mulțimea tuturor rezultatelor favorabile este doar A = {5}, iar mulțimea tuturor rezultatelor este în continuare ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Înlocuim în formulă:

   $$P(A)=\frac{|\{5\}|}{|\{1,2,3,4,5,6\}|}=\frac{1}{6}=\mathrm{16,666}\dots \mathrm{\%}$$

2. Care este probabilitatea să apară pe zar un număr divizibil cu trei? Trebuie să aflăm care numere de pe zar sunt divizibile cu trei. Sunt doar numerele 3 și 6, deci mulțimea rezultatelor favorabile este B = {3, 6}. Apoi, ca de obicei:

   $$P(B)=\frac{|\{3,6\}|}{|\{1,2,3,4,5,6\}|}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}=\mathrm{33,333}\dots \mathrm{\%}$$

3. Acum încercăm să aruncăm două zaruri deodată. Care este probabilitatea ca pe ambele zaruri să apară șase? Mai întâi trebuie să determinăm ω, adică mulțimea tuturor rezultatelor. Trebuie să numărăm toate posibilitățile care pot apărea. Deci, dacă pe primul zar apare numărul 1, pe al doilea poate apărea orice număr de la 1 la 6. Am găsit astfel șase posibilități. Dacă pe primul zar apare numărul 2, pe al doilea pot apărea din nou numerele de la 1 la 6; am găsit încă șase posibilități. Și așa mai departe pentru toate numerele care pot apărea pe primul zar. Toate posibilitățile arată astfel:

   $$\begin{array}{rcl}& \omega =& (1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),\\ & & (2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),\\ & & \dots \\ & & (6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)\end{array}$$

   Avem în total șase rânduri și în fiecare rând șase posibilități. Obținem în total 6 · 6 = 36 de posibilități care pot apărea pe zaruri. Câte dintre ele vor fi în același timp în mulțimea rezultatelor favorabile? Doar o singură posibilitate, anume (6, 6), pentru că vrem să apară două șasuri. Obținem astfel probabilitatea:

   $$P(C)=\frac{|\{(6,6)\}|}{|\omega |}=\frac{1}{36}=\mathrm{2,777}\dots \mathrm{\%}$$

4. Care este probabilitatea ca la aruncarea a două zaruri să apară pe ambele același număr? Numărul tuturor rezultatelor posibile este în continuare 36, vezi exemplul anterior. Câte rezultate favorabile sunt însă? Doar în șase cazuri apare pe ambele zaruri același număr: D = {(1, 1), (2, 2), …, (6, 6)}. Înlocuim în formulă:

   $$P(D)=\frac{|D|}{|\omega |}=\frac{6}{36}=\frac{1}{6}=\mathrm{16,666}\dots \mathrm{\%}$$

5. Care este probabilitatea ca la aruncarea a două zaruri, unul alb și unul negru, să apară pe zarul alb 3 și pe zarul negru 5? Cardinalul lui ω este în continuare 36. Cum arată mulțimea rezultatelor favorabile E? Conține exact o singură posibilitate, (3, 5), deci probabilitatea este egală cu

   $$P(E)=\frac{|E|}{|\omega |}=\frac{1}{36}=\mathrm{2,777}\dots \mathrm{\%}$$

6. Care este probabilitatea ca la aruncarea a două zaruri, unul alb și unul negru, să apară numerele 3 și 5? Acest exemplu seamănă cu cel anterior, doar că nu cerem ca numărul 3 să apară pe zarul alb și numărul 5 pe cel negru. Pur și simplu, pe unul dintre zaruri trebuie să apară 3, iar pe celălalt numărul 5. Obținem astfel mai multe posibilități: pe lângă (3, 5) avem și posibilitatea (5, 3). Probabilitatea acestui eveniment F este deci egală cu:

   $$P(F)=\frac{|F|}{|\omega |}=\frac{2}{36}=\frac{1}{18}=\mathrm{5,555}\dots \mathrm{\%}$$

7. Care este probabilitatea ca la aruncarea a două zaruri să apară cel puțin un șase? Mergem pas cu pas: dacă pe primul zar apare șase, atunci pe al doilea pot apărea numerele de la 1 la 5. Sunt cinci posibilități. Dacă șase apare pe al doilea zar, pe primul pot apărea numerele de la 1 la 5. Sunt alte cinci posibilități. Și, în sfârșit, șase poate apărea pe ambele zaruri – aceasta este încă o posibilitate. În total avem deci 5 + 5 + 1 = 11 posibilități. Mulțimea rezultatelor favorabile G arată astfel: G = {(6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (1, 6), (2, 6), (3, 6), (4, 6), (5, 6), (6, 6)}. Obținem probabilitatea:

   $$P(G)=\frac{|G|}{|\omega |}=\frac{11}{36}=\mathrm{30,555}\dots \mathrm{\%}$$

8. Într-o clasă sunt 30 de elevi. Care este probabilitatea ca elevul Andrei să fie ascultat la istorie, dacă profesoara ascultă la fiecare oră câte doi elevi și până acum nu a fost ascultat nimeni? Pentru a calcula probabilitatea, trebuie să aflăm câte perechi diferite de elevi există și câte perechi diferite de elevi există în care unul dintre cei doi este Andrei. Deoarece nu contează ordinea în care profesoara ascultă elevii, folosim combinări.

   Acum va fi simplu. Avem în total 30 de elevi și ne întrebăm câte perechi diferite putem forma din ei. Aceasta ne duce la

   $$C_{30}^2=435$$

   Și în câte perechi se află și Andrei? Dacă unul dintre cei doi este Andrei, rămân în total 29 de elevi cu care Andrei poate forma o pereche (cu el însuși nu poate forma pereche, de aceea 30 − 1 = 29). Acum cunoaștem numărul tuturor cazurilor posibile și al celor favorabile, deci înlocuim în formulă:

   $$P(H)=\frac{29}{435}=\mathrm{0,066}6\dots =\mathrm{6,666}\dots \mathrm{\%}$$

   Observație: numărul tuturor perechilor îl putem calcula și fără combinări. Cum am putea forma toate perechile dacă avem o clasă de 30 de elevi? Luăm mereu câte un elev și îi adăugăm pe rând toți ceilalți. Adică îl luăm, de exemplu, pe Marius și îi adăugăm în pereche pe toți ceilalți elevi, adică formăm 29 de perechi. Facem asta cu fiecare elev, deci cu toți cei 30 de elevi. Obținem în total 30 · 29 = 870 de perechi. Totuși, fiecare pereche apare de două ori: o dată avem perechea (Marius, Ioana) și a doua oară (Ioana, Marius) (după cum Marius a fost cel căruia i s-a asociat restul clasei sau cel care a fost asociat Ioanei). Împărțim deci acest rezultat încă o dată la doi și avem rezultatul final: 870 : 2 = 435.

9. Care este probabilitatea ca dintr-un dulap cu pantofi, în care se află douăsprezece perechi de pantofi, să scoatem exact trei pantofi de la piciorul stâng? Este un exemplu potrivit din viața de zi cu zi, sigur ai avut și tu nevoie să știi asta. Începem prin a calcula câte triplete diferite putem scoate în total din dulap. Vom avea nevoie de combinări, pentru că nu contează ordinea în care scoatem pantofii. Avem în total 24 de pantofi și vrem să scoatem 3. Obținem:

   $$C_{24}^3=2024$$

   Am calculat astfel că există în total 2024 de combinări diferite de trei pantofi pe care le putem scoate din dulap. Acum trebuie să calculăm care combinări sunt favorabile, adică care combinări de trei pantofi conțin doar pantofi pentru piciorul stâng. Știm că în dulap sunt în total 12 pantofi pentru piciorul stâng. Calculăm deci doar câte combinări putem forma din acești 12 pantofi. Aceasta duce din nou la

   $$C_{12}^3=220$$

   Există deci 220 de combinări care conțin întotdeauna doar pantofi pentru piciorul stâng. Asta e tot ce trebuie să știm, acum înlocuim în formulă:

   $$P(I)=\frac{220}{2024}=\mathrm{0,108}695\dots =\mathrm{10,869}5\dots \mathrm{\%}$$

   Avem deci aproximativ zece la sută șanse să scoatem trei pantofi și toți să fie pentru piciorul stâng.