Geçişken Olmayan Zarlar

Üzerlerinde istediğin sayıların yazılı olduğu üç tane altı yüzlü zarın olduğunu düşün. A zarında B zarından daha sık yüksek sayı gelebilir, B zarında C zarından daha sık yüksek sayı gelebilir ve C zarında da A zarından daha sık yüksek sayı gelebilir mi?

Geçişkenlik

Geçişkenlik, ikili bağıntılar konusundan bir kavramdır. M kümesi üzerindeki bir R bağıntısında her a, b, c ∈ M için (a, b) ∈ R ve aynı zamanda (b, c) ∈ R olduğunda (a, c) ikilisi de R’ye aitse, bu bağıntıya geçişken deriz.

Zarlar için “daha iyi zar olmak” bağıntısını tanımlayabiliriz: A zarında B zarından daha sık yüksek sayı geliyorsa, A zarı B zarından daha iyidir. Bu durumda geçişkenlik şöyle görünür: A zarı B zarından, B zarı da C zarından daha iyiyse, A zarı C zarından da daha iyi olmak zorundadır. Bu doğru mudur?

Bir karşıt örnek bulmaya çalışalım; yani döngüsel olarak daha iyi olan üç zar arayalım. A zarı B zarından, B zarı C zarından, C zarı da A zarından daha iyi olsun. Her zaman yalnızca altı yüzlü zarları ele alıyoruz.

Örnek

Örnek olarak şu üç zarı alalım:

• A: 2, 2, 4, 4, 9, 9,
• B: 1, 1, 6, 6, 8, 8,
• C: 3, 3, 5, 5, 7, 7.

A zarında B zarından daha büyük bir sayı gelme olasılığı nedir? Zarların gelebileceği toplam 36 farklı ikili vardır. B zarında ilk 1 gelirse, A zarında her zaman daha büyük bir sayı gelir. Yani A zarında daha yüksek sayı geldiği 6 ikili var. B zarında ikinci 1 gelirse, A zarının yüksek geldiği 6 ikili daha var. 6’lardan biri gelirse, A zarında 9’lardan biri gelmek zorundadır. Bu da 4 ihtimal daha demek. 8’lerden biri gelirse de A zarında 9’lardan biri gelmelidir. Yine 4 ihtimal. Toplamda 6 + 6 + 4 + 4 = 20 ihtimal var. A zarında daha yüksek sayı gelme olasılığı bu yüzden 20/36 = 5/9 olur; bu da yaklaşık %56 eder.

Şimdi B ve C zarlarını karşılaştıralım. C zarında 3’lerden biri gelirse, B zarında 6’lardan veya 8’lerden biri gelmelidir. Bu toplam 2 · 4 = 8 ihtimal eder. 5 gelirse yine B zarında 6 veya 8 gelmelidir, yani yine 8 ihtimal. 7 gelirse B zarında 8’lerden biri gelmelidir, 4 ihtimal. Toplam 8 + 8 + 4 = 20. Olasılık yine 5/9.

Son olarak C ve A zarlarını karşılaştıralım. A zarında 2 gelirse, C zarındaki her sayı daha yüksektir. Bu 12 ihtimal eder. 4 gelirse C zarında 5 veya 7 gelebilir. Bu 8 ihtimal eder. 9 gelirse şansımız yok. Toplamda 12 + 8 = 20 ihtimal olur ve yine 5/9 olasılığını buluruz.

Efron Zarları

Efron zarları, “daha iyi zar olmak” bağıntısına göre geçişken olmayan başka bir zar takımıdır. Üzerlerindeki sayılar şunlardır:

• A: 4, 4, 4, 4, 0, 0,
• B: 3, 3, 3, 3, 3, 3,
• C: 6, 6, 2, 2, 2, 2,
• D: 5, 5, 5, 1, 1, 1.

Burada her zar, kendinden sonraki zarı her zaman 2/3 olasılıkla yener. Örneğin A zarında 4 geldiğinde B zarına karşı kazanır. 0 geldiğinde kaybeder. A zarında 4 gelme olasılığı ise 2/3’tür. Diğer zarlar için de durum benzerdir.

Efron zarlarının başka çeşitleri de var. Tek atıştaki ortalama değeri bütün zarlarda aynı olanlar (yukarıdaki takımda ortalamalar farklıdır: örneğin A zarının ortalaması 8/3, C zarınınki ise daha yüksek, 10/3) ya da 1’den 24’e kadar olan tüm pozitif tam sayıları aralarında paylaşanlar da vardır.

Diğer Kaynaklar

• İngilizce Vikipedi