Множення стовпчиком

Як помножити два числа лише за допомогою олівця і паперу.

Письмове множення

Почнемо з легкого прикладу, складніший приклад — наприкінці статті. Спочатку припустимо, що маємо два числа, які хочемо перемножити. Поки що працюємо лише з натуральними числами. Нехай нам потрібно помножити числа 13 · 72. Записуємо ці числа одне під одним і проводимо під ними риску:

$$ \begin{array}{cr} &13\\ \cdot&72\\\hline \end{array} $$

Починаємо множити останню цифру (в розряді одиниць) нижнього числа на всі цифри верхнього числа. Знову починаємо справа, тож спочатку множимо 2 · 3 = 6. Результат пишемо просто під цифрою 2. Далі множимо цифру 2 на другу цифру справа, тобто 2 · 1 = 2. Цей результат пишемо просто під 7:

$$ \begin{array}{cr} &13\\ \cdot&72\\\hline &26 \end{array} $$

Зміщуємося в нижньому числі на одну цифру вліво, доходимо до цифри 7 і виконуємо ту саму процедуру. Але оскільки ми зсунулися на розряд (сімка означає десятки, а двійка — одиниці), треба зсунутися на розряд і під рискою. Праворуч унизу, під шістку, пишемо нуль. Далі продовжуємо так само.

$$ \begin{array}{cccc} &1&3\\ \cdot&7&2\\\hline &2&6&\\ &&0 \end{array} $$

Множимо 7 · 3 = 21. Тут і ховається підступ — дописати можна лише одну цифру, а 21 — це дві цифри. Робимо так: число розбиваємо на дві цифри: праву, тобто 1, пишемо на папері, а ліву, тобто 2, запам'ятовуємо до наступного кроку. Отже: 1 пишемо, 2 пам'ятаємо. Пишемо її одразу поруч із нулем.

$$ \begin{array}{cccc} &1&3\\ \cdot&7&2\\\hline &2&6&\\ &1&0 \end{array} $$

Далі множимо цифру 7 на цифру 1 у верхньому числі: 7 · 1 = 7. Тепер настає черга цифри 2, яку ми запам'ятали: додаємо її до цього результату: 7 + 2 = 9. Це число пишемо ліворуч від цифри 1 в найнижчому рядку:

$$ \begin{array}{cccccc} &&1&3\\ \cdot&&7&2\\\hline &&2&6&\\ &9&1&0 \end{array} $$

Лишився останній крок: додати числа під рискою.

$$ \begin{array}{cccccc} &&2&6&\\ +&9&1&0\\\hline &9&3&6 \end{array} $$

Виходить число 936, а це і є добуток 13 · 72.

Чому це працює

Множення можна розкласти на простіші добутки й суми так: можна записати, що 13 · 72 — це те саме, що 13 · 2 + 13 · 70. Тут можна побачити винесення спільного множника за дужки, але досить і простого глузду: якщо я додаю число тринадцять сімдесят два рази, то це те саме, що додати тринадцять сімдесят разів, а потім ще дві тринадцятки.

Описаний спосіб дає не що інше, як ці часткові добутки. Якщо придивитися, під рискою ми отримали числа 26 і 910. При цьому 26 = 2 · 13 і 910 = 70 · 13.

Щоб усе справді сходилося, ми мусили в другому рядку дописати нуль, бо насправді ми обчислювали 7 · 13. Щоб із цього отримати добуток 70 · 13, до результату треба додати ще один нуль.

Складніший приклад

Обчисли: 28 · 617. Спочатку записуємо числа одне під одним:

$$ \begin{array}{ccccc} &&2&8\\ \cdot&6&1&7\\\hline \end{array} $$

У першому кроці обчислюємо: 7 · 8 = 56. Пишемо 6, 5 запам'ятовуємо.

$$ \begin{array}{ccccc} &&2&8\\ \cdot&6&1&7\\\hline &&&6 \end{array} $$

Далі: 7 · 2 = 14, додаємо 5 з попереднього кроку: 14 + 5 = 19. Пишемо 9, 1 запам'ятовуємо.

$$ \begin{array}{ccccc} &&2&8\\ \cdot&6&1&7\\\hline &&9&6 \end{array} $$

Оскільки множити вже нічого, дописуємо одиницю:

$$ \begin{array}{ccccc} &&2&8\\ \cdot&6&1&7\\\hline &1&9&6 \end{array} $$

Переходимо до другого рядка. Дописуємо нуль і множимо: 1 · 8 = 8, пишемо 8:

$$ \begin{array}{ccccc} &&2&8\\ \cdot&6&1&7\\\hline &1&9&6\\ &&8&0 \end{array} $$

Далі: 1 · 2 = 2, пишемо 2:

$$ \begin{array}{ccccc} &&2&8\\ \cdot&6&1&7\\\hline &1&9&6\\ &2&8&0 \end{array} $$

І переходимо до третього рядка. Зсуваємося ще на один розряд, тому пишемо на один нуль більше, ніж раніше:

$$ \begin{array}{ccccc} &&2&8\\ \cdot&6&1&7\\\hline &1&9&6\\ &2&8&0\\ &&0&0 \end{array} $$

І множимо: 6 · 8 = 48, 8 пишемо, 4 запам'ятовуємо.

$$ \begin{array}{ccccc} &&2&8\\ \cdot&6&1&7\\\hline &1&9&6\\ &2&8&0\\ &8&0&0 \end{array} $$

Далі: 6 · 2 = 12, додаємо 4, отже маємо 12 + 4 = 16. 6 пишемо, 1 запам'ятовуємо.

$$ \begin{array}{ccccc} &&2&8\\ \cdot&6&1&7\\\hline &1&9&6\\ &2&8&0\\ 6&8&0&0 \end{array} $$

Оскільки множити вже нічого, дописуємо одиницю:

$$ \begin{array}{ccccc} &&&2&8\\ \cdot&&6&1&7\\\hline &&1&9&6\\ &&2&8&0\\ 1&6&8&0&0 \end{array} $$

А тепер додаємо всі три числа під рискою:

$$ \begin{array}{cccccc} &&&1&9&6\\ &&&2&8&0\\ +&1&6&8&0&0\\\hline &1&7&2&7&6 \end{array} $$