Множення від'ємних чисел

Від'ємні числа можуть здаватися трохи неінтуїтивними, особливо коли доходить до їхнього добутку.

Як уявити від'ємні числа

У повсякденному житті ми з від'ємними числами зазвичай не стикаємося. Навряд чи хтось скаже: «Бабусю, дивись — он на пагорбі мінус вісім корів!» Тим важче пояснювати множення від'ємних чисел.

Але є щонайменше один випадок, коли від'ємні числа зрозумілі всім: домашній бюджет, його доходи й витрати. Наприклад, якщо глянути на свій банківський рахунок, там будуть такі записи:

• +15 000 грн: виплата зарплати
• −1 753 грн: покупки в супермаркеті
• −980 грн: жувальна гумка на цілий рік
• +2500 грн: державна допомога на гарний настрій
• −8000 грн: оренда житла

Якщо ми отримуємо гроші, біля суми стоїть знак плюс, а якщо витрачаємо — знак мінус, бо ці витрачені гроші віднімаються від нашого залишку.

Тож від'ємні числа можна уявляти як витрати. Якщо в нас додалася тисяча гривень, пишемо +1000, а якщо ми витратили п'ять тисяч, пишемо −5000. Це можуть бути не лише гроші: якщо ми беремо з кошика шість жувальних гумок, це можна позначити як −6.

Множення від'ємного числа на додатне

Яким буде результат добутку 7 · (−20)? По суті, питання в тому, який знак матиме результат. Мабуть, ясно, що результат буде або 140, або −140. Як обґрунтувати правильний варіант?

Уявімо, що одна пачка жувальної гумки коштує 20 грн, а ми купуємо 7 пачок. Тепер питаємо, скільки грошей ми витратили на ці сім пачок. Це зрозуміло: витратили 7 · 20 = 140 грн.

Але оскільки це гроші, які ми справді витратили, а не отримали, ставимо перед сумою знак мінус. Якби ми залишили результат 140, це означало б, що то наш дохід, а насправді це наша витрата: тому результат 7 · (−20) = −140.

Це знову можна звести до додавання: уявімо, що ми купили лише дві пачки жувальної гумки. Обидві коштували двадцять гривень, тож у нашому обліку було б

• −20 грн: жувальна гумка
• −20 грн: жувальна гумка

Це можна переписати як 2 · (−20) або просто скласти ці витрати: −20 + (−20) = −20 − 20 = −40. Тоді можна просто записати:

• −40 грн: дві пачки жувальної гумки

Коли ми множимо додатне число на від'ємне (або від'ємне на додатне, це все одно), можна уявляти, що від'ємна частина — це якась витрата, а додатне число — кількість таких витрат. І оскільки ми додаємо витрати, результат теж має бути від'ємним.

Алгебраїчне обґрунтування

Те, що множення додатного й від'ємного чисел дає від'ємне число, можна обґрунтувати й алгебраїчно. Спробуймо обчислити такий приклад: 5 · (4 − 4). Очевидно, результат — нуль, бо 4 − 4 = 0 і 5 · 0 = 0. Проте якщо ми знаємо винесення спільного множника за дужки і розкриття дужок, то попередній приклад можна переписати й так:

$$ 5 \cdot 4 + 5 \cdot (-4) = 0 $$

Ми замінили вираз іншим, але рівносильним. Ліва частина рівняння, як і раніше, має дорівнювати нулю, бо початковий вираз 5 · (4 − 4) теж дорівнював нулю. Тепер обчислимо 5 · 4 = 20:

$$ 20 + 5 \cdot (-4) = 0 $$

Тепер лишається тільки вираз 5 · (−4). Але щоб рівність залишалася правильною, чому цей вираз має дорівнювати? Яке число треба додати до числа 20, щоб отримати нуль? Це число −20. Єдиний можливий результат виразу 5 · (−4) — число −20. Отже, ми знову бачимо, що добуток додатного й від'ємного чисел є від'ємним числом.

Добуток двох від'ємних чисел

Добуток двох від'ємних чисел дає додатне число. На перший погляд це може здаватися дивним, але це цілком зрозуміло. Так це працює і в мові, якщо вжити подвійне заперечення: у фразі «ми не будемо неввічливими» два заперечення, а ця фраза каже те саме, що й «ми будемо ввічливими». (Тут ми, щоправда, припускаємо, що можна бути лише ввічливим або неввічливим. Теоретично можна було б не бути ні тим, ні тим.)

Просте пояснення ти знайдеш у наступній частині, де йдеться про рух чоловічка з портфелем. А зараз наведемо наочну таблицю залежностей між додатними й від'ємними числами щодо добутку:

$$\begin{eqnarray} \mbox{додатне} \cdot \mbox{додатне} &=& \mbox{додатне}\\ \mbox{додатне} \cdot \mbox{від'ємне} &=& \mbox{від'ємне}\\ \mbox{від'ємне} \cdot \mbox{додатне} &=& \mbox{від'ємне}\\ \mbox{від'ємне} \cdot \mbox{від'ємне} &=& \mbox{додатне}\\ \end{eqnarray}$$

Пояснення за допомогою руху

Добуток із від'ємними множниками можна гарно пояснити на русі. Уявімо, що ми стоїмо на початку числової осі. Приблизно так:

Далі візьмімо добуток двох чисел, скажімо, 2 · 3. Цей добуток ми показуватимемо на числовій осі як рух того чоловічка з портфелем. Перше число означатиме довжину кроку, а друге — кількість кроків, які зробить чоловічок, тож добуток можна розглядати як $\text{довжина кроку} \cdot \text{кількість кроків}$.

При цьому враховуватимемо й від'ємні числа. Якщо довжина кроку додатна, чоловічок іде нормально вперед, а якщо від'ємна — іде задом наперед. Якщо кількість кроків додатна, чоловічок обернений праворуч (як на рисунку вгорі), а якщо від'ємна — обернений ліворуч.

Число, до якого дійде чоловічок із портфелем, і є результатом добутку цих чисел. Подивімося, що вийде для всіх комбінацій додатних і від'ємних чисел.

Для добутку 2 · 3 чоловічок обернений праворуч і йде вперед. Тож він робить три кроки вперед завдовжки по два квадратики.

Чоловічок із портфелем доходить до числа 6, отже, результат — 2 · 3 = 6.

Тепер спробуємо добуток −2 · 3. Перше число від'ємне, тому чоловічок тепер піде задом наперед. Але друге число додатне, тож він дивитиметься праворуч. Отже, чоловічок дивиться праворуч і робить три кроки задом наперед:

Бачимо, що чоловічок із портфелем дійшов до числа −6, що збігається з тим, що −2 · 3 = −6.

Далі спробуємо 2 · (−3). Перше число додатне, тому чоловічок піде вперед. Але друге число від'ємне, тож чоловічок буде обернений ліворуч. Чоловічок дивиться ліворуч і робить три кроки вперед:

Чоловічок знову прийшов до числа −6, що збігається з тим, що 2 · (−3) = −6. Видно, що не має значення, чи чоловічок обернений ліворуч і йде вперед, чи обернений праворуч і йде задом наперед — в обох випадках він опиняється серед від'ємних чисел.

Нарешті пошлемо чоловічка обчислити −2 · (−3), тобто обернемо його ліворуч і дамо йому пройти три кроки задом наперед:

Чоловічок, можливо, трохи несподівано, дійшов до числа 6. Тож можемо сказати, що −2 · (−3) = 6, тобто добуток двох від'ємних чисел дорівнює додатному числу.