Площа поверхні циліндра

Площа поверхні циліндра показує, яку площу мають поверхні, що обмежують циліндр. Не плутай її з об'ємом циліндра, який показує, «скільки літрів води можна налити в циліндр». Подивімося, як виглядає циліндр:

Формула

Якщо тобі потрібна лише формула, то площу поверхні циліндра, основа якого має радіус r, а висота дорівнює h, обчислюють так:

$$\Large S=2\cdot\pi\cdot r^2+2\cdot\pi\cdot r \cdot h$$

Як ми дійшли до цієї формули?

Кожен циліндр має дві основи: це два круги, угорі й унизу. Крім того, циліндр має бічну поверхню — це поверхня «між» основами. Щоб обчислити площу поверхні циліндра, треба обчислити площі обох основ і площу бічної поверхні, а тоді додати ці значення. Оскільки основа — це круг, скористаємося формулою площі круга

$$\Large S_{осн}=\pi\cdot r^2,$$

де r — радіус основи. На рисунку це горизонтальний штриховий відрізок. Якщо, наприклад, r = 6, то площа основи дорівнює

$$\Large S_{осн}=\pi\cdot 6^2 = 36\pi$$

Далі лишається обчислити площу бічної поверхні. Можна помітити, що бічна поверхня — це «згорнутий» прямокутник. Одна сторона прямокутника має довжину, що дорівнює висоті h циліндра; на рисунку це вертикальний штриховий відрізок. Друга сторона після «розгортання» дорівнює довжині кола, яке є межею основи. Тож спочатку обчислимо довжину кола основи за формулою довжини кола

$$\Large L = 2\cdot\pi\cdot r$$

Після підстановки маємо:

$$\Large L = 2\cdot\pi\cdot 6 = 12 \pi$$

Довжина кола основи дорівнює 12π. Площу прямокутника, позначимо її $S_б$, обчислюємо просто: перемножуємо довжини обох сторін:

$$\Large S_б = 12\pi \cdot h$$

Якщо висота циліндра, скажімо, h = 10, то отримаємо

$$\Large S_б = 12\pi \cdot 10 = 120\pi$$

Повну площу поверхні циліндра, позначимо її S, отримаємо, додавши всі результати (і не забудемо, що циліндр має дві основи):

$$\Large S=S_{осн}+S_б+S_{осн}$$

Отже, після підстановки:

$$\Large S=36\pi+120\pi+36\pi=192\pi$$

Якщо тобі не подобається результат зі сталою π, можеш замість π підставити наближене значення 3{,}14 і отримати наближений результат

$$\Large S\approx 192\cdot3{,}14=602{,}88$$