Парабола

Парабола — це конічний переріз, тобто крива, кожна точка якої рівновіддалена від даної прямої та від даної точки, що не лежить на цій прямій.

Який вигляд має парабола

Парабола задається однією точкою F і однією прямою d. Для всіх точок X цієї параболи виконується, що вони мають однакову відстань до точки F і до прямої d. Подивися на рисунок:

• Точка F називається фокусом параболи.
• Пряма d називається директрисою параболи.
• Пряма FD називається віссю параболи, вона перпендикулярна до директриси й проходить через фокус.
• Точка V називається вершиною параболи й лежить посередині відрізка FD.
• Довжину відрізка FD називаємо параметром параболи. Це відстань від фокуса до директриси.

На рисунку також помітно, що відстань від точки параболи до прямої та до фокуса справді завжди однакова. Наприклад, для вершини V відстань до фокуса |VF| дорівнює відстані до прямої |VD|. Так само це виконується для точки X, позначеної на рисунку: відстань |XF| дорівнює відстані |XE|.

Парабола є графіком квадратичної функції.

Рівняння параболи

У параболи розрізняємо чотири різні випадки. Залежить це від того, як спрямована вісь параболи, тобто чи вона вертикальна (паралельна осі Oy), як на першому рисунку, чи горизонтальна (паралельна осі Ox). Далі розрізняємо випадки, коли парабола обмежена знизу чи зверху та «зліва» чи «справа». Нехай парабола має вершину V з координатами (m; n).

• Перший випадок: Парабола має вісь, паралельну осі Oy, і обмежена знизу (її гілки спрямовані вгору). Для неї виконується таке рівняння:

  $$(x-m)^2=2p(y-n)$$

  Фокус має координати:

  $$F\left(m; n+\frac{p}{2}\right)$$

• Другий випадок: Парабола має вісь, паралельну осі Oy, і обмежена зверху (її гілки спрямовані вниз). Для неї виконується таке рівняння:

  $$(x-m)^2=-2p(y-n)$$

  Фокус має координати:

  $$F\left(m; n-\frac{p}{2}\right)$$

• Третій випадок: Парабола має вісь, паралельну осі Ox, і обмежена «зліва» (її гілки спрямовані вправо). Для неї виконується таке рівняння:

  $$(y-n)^2=2p(x-m)$$

  Фокус має координати:

  $$F\left(m+\frac{p}{2}; n\right)$$

• Четвертий випадок: Парабола має вісь, паралельну осі Ox, і обмежена «справа» (її гілки спрямовані вліво). Для неї виконується таке рівняння:

  $$(y-n)^2=-2p(x-m)$$

  Фокус має координати:

  $$F\left(m-\frac{p}{2}; n\right)$$