Еліпс

Еліпс — це конічний переріз. Основна властивість еліпса: кожна його точка має однакову суму відстаней до двох даних точок площини. Ці точки називають фокусами.

Який вигляд має еліпс

Нехай дано дві точки — E і F, фокуси еліпса e. Тоді для кожної точки X еліпса e має виконуватися рівність

$$|XE|+|XF|=K,$$

де K — деяке стале число. Отже, для всіх точок еліпса це число однакове. Якщо E = F, отримуємо коло, і сума |XE|+|XF| дорівнює діаметру кола (тобто |XE| має бути радіусом кола). Рисунок еліпса:

Однакова сума відстаней до фокусів означає, що сума |EK|+|FK| має дорівнювати сумі |EL|+|FL|, і так само для всіх інших точок еліпса.

Опис і властивості еліпса

• Еліпс має два фокуси, позначмо їх E і F.
• На еліпсі лежать дві вершини на великій осі, A і B, та дві вершини на малій осі, C і D.
• Центр еліпса, на рисунку точка S, лежить посередині відрізка EF, тобто між фокусами.
• Пряма, що проходить через вершини A і B (а також через фокуси), називається великою віссю еліпса, а пряма, що проходить через вершини C і D, — малою віссю еліпса.
• Відрізок, який сполучає вершину на великій осі з центром еліпса, називається великою піввіссю. На рисунку це відрізки AS і BS.
• Відрізок, який сполучає вершину на малій осі з центром еліпса, називається малою піввіссю. На рисунку це відрізки CS і DS.
• Стала K, яка дорівнює сумі відстаней від точки еліпса до фокусів, дорівнює довжині відрізка AB. Це добре видно, якщо обчислити суму для точки B. Для неї сума має вигляд |FB|+|EB|. Відрізок EB покриває майже весь відрізок AB, а решта, відрізок AE, має таку саму довжину, як відрізок FB. Тому |FB|+|EB| = |AB|.

Ексцентриситет еліпса

Ще одна важлива величина еліпса — відстань від фокуса до центра. У чеських підручниках її називають excentricita і позначають e, тобто e = |ES| = |FS|; ми теж лишаємо позначення e, бо воно є на рисунках (в українській школі цю відстань частіше позначають c і називають фокальною або лінійним ексцентриситетом). Не плутай її з ексцентриситетом $\varepsilon$, який в українських підручниках є відношенням $\varepsilon=\frac{e}{a}$, де a — велика піввісь: для еліпса $0 \le \varepsilon < 1$, а для кола $\varepsilon = 0$. Як обчислити e? Спершу з'ясуємо, чому дорівнюють відстані |ED| і |FD|.

Ми знаємо, що сума K дорівнює довжині |AB|. З рисунка видно, що відрізки ED і FD мають однакову довжину, адже пряма CD — вісь еліпса. Довжина кожного з них тоді дорівнює половині довжини |AB|, тобто довжині великої півосі еліпса. Якщо довжину великої півосі позначити a, а довжину малої півосі b, отримаємо такий рисунок:

Тепер e можна виразити за допомогою теореми Піфагора:

$$e=\sqrt{a^2-b^2}$$

Чим більше еліпс схожий на коло, тобто чим менш він сплюснутий, тим менша відстань e порівняно з a, а отже, менший і ексцентриситет $\varepsilon$.

Рівняння еліпса

Як вивести рівняння еліпса? Спершу нам потрібен якийсь зручний еліпс, тож оберімо еліпс, у якого велика й мала осі паралельні осям Ox і Oy, а центр лежить у початку системи координат, тобто має координати (0; 0). Такий еліпс виглядає, наприклад, так:

Питання таке: як у загальному вигляді виразити точку X, позначену на рисунку синім кольором? З означення еліпса маємо:

$$|EX|+|FX|=|AB|$$

Оскільки довжина відрізка AB дорівнює подвоєній довжині великої півосі a, можемо записати:

$$|EX|+|FX|=2a$$

Далі треба якось виразити довжини відрізків EX і FX. Почнімо з відрізка FX. Домалюємо на рисунку ще два відрізки так, щоб утворився прямокутний трикутник.

Точка X має координати (x; y), тому довжина відрізка PX дорівнює ординаті точки X, тобто |PX| = y. Довжина PF дорівнює |e − x|. За теоремою Піфагора тоді має виконуватися:

$$|FX|=\sqrt{|e-x|^2+y^2}=\sqrt{(x-e)^2+y^2}$$

Так само, як ми виразили |FX|, виразимо й |EX|. Довжина PX буде та сама, знову y, а довжина PE дорівнюватиме x + e. Отримуємо:

$$|EX|=\sqrt{(x+e)^2+y^2}$$

Ці нові вирази підставимо в попередню рівність:

$$\sqrt{(x+e)^2+y^2}+\sqrt{(x-e)^2+y^2}=2a$$

Далі йшла б велика купа перетворень, і зрештою ми отримали б ось такий зручний вигляд:

$$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$$

Проте це рівняння описує еліпс із центром у початку координат. Щоб отримати загальніше рівняння, треба врахувати й координати центра еліпса. Еліпс із центром у точці S(m; n) має рівняння:

Якщо велика вісь паралельна осі Ox:

$$\frac{(x-m)^2}{a^2}+\frac{(y-n)^2}{b^2}=1$$

Якщо велика вісь паралельна осі Oy:

$$\frac{(x-m)^2}{b^2}+\frac{(y-n)^2}{a^2}=1$$

Приклад: щоб переконатися, що рівняння справді працює, спробуймо підставити в нього точку X з рисунка. Для рисунка маємо a = 5, b = 4 і X(2{,}31; 3{,}55) (координати точки округлені, тож результат теж доведеться округлити). Підставивши в ліву частину рівняння, отримуємо:

$$\frac{2{,}31^2}{5^2}+\frac{3{,}55^2}{4^2}=\frac{5{,}3361}{25}+\frac{12{,}6025}{16}=0{,}213444+0{,}78765625\approx1$$

Отже, ми отримали рівність 1 = 1.