Гіпербола

Гіпербола — це конічний переріз. Для кожної точки гіперболи модуль різниці відстаней до двох фіксованих точок завжди однаковий. До речі, в українській мові «гіпербола» — це ще й назва художнього прийому, надмірного перебільшення.

Який вигляд має гіпербола

Попереднє означення звучить трохи страшно, тож спершу подивися на рисунок гіперболи:

Зверни увагу: на відміну від інших конічних перерізів, таких як еліпс або парабола, гіпербола складається з двох віток. Що означає попереднє означення? Маємо два фокуси, F₁ і F₂. Для кожної точки X гіперболи різниця |XF₁|−|XF₂| за модулем має бути однаковою.

На рисунку є дві точки, X₁ і X₂. Для X₁ різниця дорівнює: |X₁F₁|−|X₁F₂| = 1 − 3 = −2, а за модулем отримуємо 2. Те саме значення мусимо отримати й для X₂. Перевіримо: |X₂F₁|−|X₂F₂| = 3 − 5 = −2, за модулем 2 (що довжина відрізка X₂F₂ дорівнює п'яти, можна обчислити, наприклад, за теоремою Піфагора).

Якщо застосувати цей спосіб до всіх точок гіперболи, щоразу отримаємо 2.

Опис гіперболи

Подивися на розширений рисунок попередньої гіперболи:

• Точки F₁ і F₂ називають фокусами.
• Точка S називається центром гіперболи й лежить посередині відрізка F₁F₂.
• Пряма F₁F₂ називається дійсною віссю гіперболи. Перпендикуляр до цієї осі в точці S називається уявною віссю гіперболи.
• Точки перетину гіперболи з дійсною віссю називаються вершинами гіперболи, на рисунку це точки A і B.
• Кожен із відрізків AS і BS називається дійсною піввіссю гіперболи. Їх довжину позначаємо a.
• Довжину уявної півосі гіперболи позначаємо b.
• Відстань від фокуса до центра в чеських підручниках називають excentricita і позначають e; ми теж лишаємо e, бо воно є на рисунках (в українській школі цю відстань частіше позначають c і називають фокальною або лінійним ексцентриситетом). Не плутай її з ексцентриситетом $\varepsilon$, який в українських підручниках є відношенням $\varepsilon=\frac{e}{a}$ (для гіперболи $\varepsilon > 1$). Виконується співвідношення:

$$e=\sqrt{a^2+b^2}$$

Щоб було краще видно, звідки взялася довжина уявної півосі b, подивися ще на один рисунок:

Це та сама гіпербола, на якій насамперед з'явилися асимптоти — дві фіолетові прямі, що перетинаються, a₁, a₂, які проходять через центр S. Дійсна піввісь a не змінилася, це все ще відрізок AS. Тепер відкладемо на асимптоті точку D так, щоб відстань |SD| дорівнювала e. Довжина відрізка AD тоді є довжиною уявної півосі гіперболи. Як видно з рисунка, це прямокутний трикутник, тож можемо скористатися теоремою Піфагора, і тому виконується співвідношення

$$e=\sqrt{a^2+b^2}.$$

Використане коло має центр у точці S і лише показує, що довжина |F₁S| (відстань від фокуса до центра) дорівнює довжині |SD|.

Рівняння гіперболи

У гіперболи розрізняємо два різні випадки. Усе залежить від того, чи дійсна вісь гіперболи паралельна осі Ox, чи осі Oy. Нехай гіпербола має центр S з координатами (m; n).

• Дійсна вісь паралельна осі Ox:

Рівняння:

$$\frac{(x-m)^2}{a^2}-\frac{(y-n)^2}{b^2}=1$$

• Дійсна вісь паралельна осі Oy:

Рівняння:

$$\frac{(y-n)^2}{a^2}-\frac{(x-m)^2}{b^2}=1$$