Метричні співвідношення в прямокутному трикутнику

Давньогрецький математик Евклід з Александрії сформулював дві теореми про трикутники, а саме про висоту й про катет. У чеських підручниках їх називають Евклідовими теоремами, в Україні ж окремої назви вони зазвичай не мають — це просто метричні співвідношення в прямокутному трикутнику.

Теорема про висоту

Ця теорема працює лише в прямокутному трикутнику. Подивімося на основні позначення:

Маємо трикутник ABC, сторона c — гіпотенуза, відрізок h_c — висота, проведена до сторони c. Точка H_c ділить сторону c на два відрізки: відрізок AH_c позначимо b_c, а відрізок BH_c — a_c (це проєкції катетів b і a на гіпотенузу).

Теорема про висоту стверджує, що виконується співвідношення

$$ h_c^2 = a_c \cdot b_c, $$

де h_c означає довжину відрізка h_c тощо. Іншими словами: якби ми побудували квадрат зі стороною h_c та прямокутник зі сторонами a_c і b_c, то ці фігури мали б однакову площу. Подивися на наступний рисунок, на якому саме такі квадрат і прямокутник виділено:

Теорема про висоту каже, що ці фігури мають однакову площу. Червоний квадрат має сторону h_c, зелений прямокутник має одну сторону довжиною a_c, а друга його сторона дорівнює b_c.

Доведення цієї теореми можна прочитати, наприклад, у Вікіпедії.

Теорема про катет

Ця друга теорема також виконується в прямокутному трикутнику. Залишимося біля першого рисунка трикутника:

Друга теорема стверджує, що

$$\begin{eqnarray} a^2 &=& c \cdot a_c\\ b^2 &=& c \cdot b_c\\ \end{eqnarray}$$

Якщо побудувати квадрат зі стороною a, то цей квадрат матиме таку саму площу, як прямокутник зі сторонами c і a_c. Знову можеш подивитися на квадрат і прямокутник:

Доведення також можна знайти у Вікіпедії.