Числовий проміжок

Проміжки в математиці використовують дуже часто, вони трапляються в багатьох означеннях. Числовий проміжок — це множина точок, обмежена двома крайніми точками. Далі розрізняємо відкриті та закриті проміжки.

Загальний опис

Проміжки ми вживаємо й у звичайній мові, наприклад: «за неправильний колір очей тобі можуть виписати штраф у межах від десяти до двадцяти тисяч гривень». У прикладі сказано «у межах», але з погляду математики це проміжок. Тепер виникають підступні запитання: чи можна отримати штраф рівно десять тисяч гривень, чи крайнє значення в межі не входить? Наскільки точно можна визначати розмір штрафу? Чи може штраф становити 18 541,97 гривні? Чи можна змінювати його лише сотнями? Тобто або 18 500, або 18 600?

Усе це розв'язує математичний запис. У ньому треба сказати дві суттєві речі: у якій множині ми рухаємося (у контексті прикладу — сотні? тисячі? одиниці гривень?) і чи входять у проміжок крайні точки (чи можна отримати штраф рівно десять або двадцять тисяч?).

Добра новина в тому, що в переважній більшості випадків у математиці ми хочемо, щоб проміжок складався з дійсних чисел, тож якщо ти натрапиш на проміжок без указаної множини, то це, безперечно, дійсні числа.

Вихідну множину ми вже маємо, а як позначити, чи беремо ми до уваги крайні точки? Проміжки записують за допомогою дужок. Кругла дужка означає, що крайня точка в проміжок не входить, а квадратна — що входить. Це називають відкритістю та закритістю. Якщо крайня точка належить проміжку, то проміжок закритий, якщо не належить — відкритий.

Приклади

Далі наведено приклади (усі в множині дійсних чисел, якщо не сказано іншого):

• $[1; 2]\qquad$ Відрізок від одного до двох. У проміжок входять усі дійсні числа між одиницею та двійкою, включно з одиницею та двійкою.
• $(1; 2)\qquad$ Інтервал від одного до двох. У проміжок входять усі дійсні числа між одиницею та двійкою, але самі числа один і два до нього не належать.
• $[0; 1)\qquad$ Проміжок закритий зліва й відкритий справа. У нього входять усі числа між нулем і одиницею, включно із самим нулем, але одиниця не належить проміжку.
• $(p; q]\qquad$ Проміжок відкритий зліва й закритий справа. У нього входять усі числа між p і q, включно з числом q, але без числа p.
• $[0; +\infty)\qquad$ Проміжок закритий зліва й відкритий справа. Якщо в проміжку є нескінченність, з цього боку завжди використовуй круглу дужку: нескінченність не є крайньою скінченною точкою, тож квадратна дужка тут не має сенсу.
• $[1; 5]\subset\mathbb{N}\qquad$ Тут відбувається зміна: ми працюємо не з множиною дійсних чисел, а з множиною натуральних чисел. З обох боків маємо закритий проміжок, тож у ньому загалом п'ять чисел: 1, 2, 3, 4 і 5.
• $(1; 5]\subset\mathbb{N}\qquad$ Той самий випадок, що й щойно, тільки проміжок відкритий зліва, тому одиниця до нього не належить, і перелік усіх елементів такий: 2, 3, 4 і 5.

Проміжок як множина

Як бачимо, проміжок — це не що інше, як підмножина множини, на якій він заданий. Тому з проміжками можна працювати як із множинами та виконувати над ними операції над множинами. Наприклад, об'єднання могло б виглядати так:

$$[0; 5]\cup[5; 10]=[0; 10]$$

Зверни увагу на відкриті проміжки: там ця рівність не виконувалася б, бо п'ятірка до підсумкового проміжку не належить:

$$(0; 5)\cup(5; 10)\ne(0; 10)$$

Правильно було б, наприклад, так:

$$(0; 5)\cup(5; 10)=(0; 10)\setminus{5}$$

Коли використовувати відкритий проміжок

Різницю між відкритим і закритим проміжком необхідно зрозуміти. Часто відкритий проміжок використовують, наприклад, для запису області визначення логарифма. Логарифм можна брати від будь-якого додатного дійсного числа, а це означає, що не можна брати від'ємне число, але й нуль теж. Як це записати?

$$D(\ln)=(0; +\infty)$$

Цей запис означає, що логарифм можна брати від як завгодно малого додатного числа, але не від нуля. Тож, наприклад, число 1 у проміжок входить, число 0,001 теж, так само число 0,0000000001 або 10⁻⁶⁶⁶. Але нуль у проміжок уже не входить. Аналогічно можна записати область визначення функції з дробом, наприклад звичайної f(x) = 1/x.

$$D(f)=(-\infty; 0)\cup(0; +\infty)$$

Це задає множину дійсних чисел без нуля. У жодному з проміжків нуль не стоїть на місці закритої межі, тому його не буде й в об'єднанні. Проте ми можемо взяти як завгодно мале додатне число або як завгодно велике від'ємне (серед від'ємних чисел -0,001 більше за -0,1, тому йдеться про як завгодно велике число, а не як завгодно мале).

Геометрична інтерпретація

Проміжки зазвичай зображують на числовій осі як відрізки, а крайні точки обирають залежно від того, закритий проміжок чи відкритий. Якщо проміжок закритий, кружечок, що зображує точку, зафарбований, а якщо відкритий, то незафарбований, лише контур, просто коло.

Наступний рисунок показує три проміжки від двох до шести, які відрізняються закритістю країв. Отже, по черзі зображено такі проміжки: [2; 6], (2; 6], (2; 6).