Рівносильні перетворення рівнянь

Перетворюючи рівняння, ми користуємося рівносильними перетвореннями. Їхня ознака в тому, що вони не змінюють розв'язків рівняння. Мета рівносильних перетворень — привести рівняння до якогось простішого вигляду, з якого вже можна обчислити розв'язок.

Що таке рівняння

Спочатку коротко про те, що таке рівняння і як ми його записуватимемо. Якщо маємо дві функції f(x) і g(x), то можемо прирівняти їх і отримати рівняння:

$$f(x)=g(x)$$

У цьому випадку f(x) називаємо лівою частиною рівняння, а g(x) — правою. Замість абстрактних функцій f(x) і g(x) можна уявити конкретні, наприклад f(x) = 3x і g(x) = x + 2. Тоді рівняння виглядало б так:

$$3x=x+2$$

Розв'язком рівняння є множина (скажімо) S, така що для кожного x з множини S після підстановки в рівняння воно залишається правильним. Отже, розв'язком нашого прикладу була б множина

$$S=\left\{1\right\}.$$

Після підстановки в рівняння отримуємо

$$3\cdot1=1+2$$

Рівносильне перетворення рівняння — це таке перетворення, що не змінює розв'язків рівняння. Тобто рівносильним було б перетворення, коли з функції f(x) ми отримуємо функцію f₁(x), тим самим перетворенням з функції g(x) отримуємо g₁(x), і все одно виконується рівність

$$f_1(x)=g_1(x).$$

Перше й найпростіше рівносильне перетворення рівнянь (не нерівностей!) — це заміна місцями лівої та правої частин. Мабуть, очевидно, що якщо виконується

$$f(x)=g(x),$$

то виконуватиметься й рівність зі зміненим порядком

$$g(x)=f(x).$$

Докладніше про рівняння я пишу в статті Що таке рівняння.

Додавання

Найпростіший приклад — додавання якогось виразу до обох частин рівняння. Рівносильне перетворення завжди застосовуємо до обох частин рівняння. Отже, маємо таке рівняння:

$$x-3=1.$$

Це рівняння можна розв'язати так: додати до обох частин число три. Перетворення зазвичай записують після скісної риски в рядку, з якого його починають, ось так

$$\begin{eqnarray} x-3&=&1\quad /+3\\ 3+x-3&=&1+3\\ x&=&4 \end{eqnarray}$$

Загалом можна записати, що коли знову маємо дві функції f(x) і g(x), то можемо додати до них третю функцію h(x) і не змінимо розв'язків рівняння.

$$\begin{eqnarray} f(x)&=&g(x)\quad/+h(x)\\ f(x)+h(x)&=&g(x)+h(x) \end{eqnarray}$$

Як бачимо, додавати можна не лише число, а й функцію:

$$x=2x+6$$

За звичаєм ми хочемо мати змінні ліворуч, чого досягаємо, додавши до рівняння −2x, тобто віднявши 2x.

$$\begin{eqnarray} x&=&2x+6\quad/-2x\\ x-2x&=&2x-2x+6\\ -x&=&6\\ x&=&-6 \end{eqnarray}$$

Звісно, додавати можна й дроби, якщо це тобі зручно.

$$x-\frac12=471$$

Додамо половину — і маємо розв'язок:

$$\begin{eqnarray} x-\frac12&=&471\quad/+\frac12\\ x-\frac12+\frac12&=&471+\frac12\\ x&=&471{,}5 \end{eqnarray}$$

Додавання до рівняння зазвичай використовують, коли хочуть «перенести» вираз з однієї частини рівняння в іншу. Якщо маємо рівняння

$$3=2x+17,$$

то як перенести вираз зі змінною, тобто 2x, у ліву частину рівняння? Просто додаємо до всього рівняння −2x. Тоді праворуч замість 2x отримуємо нуль, бо 2x − 2x = 0. А з другого боку отримуємо −2x:

$$\begin{eqnarray} 3&=&2x+17\quad/-2x\\ 3-2x&=&2x-2x+17\\ 3-2x&=&17 \end{eqnarray}$$

Множення

Рівняння можна також помножити на якусь функцію. Єдина умова — ця функція не може бути нульовою. Не можна множити рівняння на нуль чи на функцію, яку можна звести до нуля, наприклад f(x) = x − x. Отже, якщо маємо рівняння

$$3x=7,$$

то можемо помножити його на двійку:

$$\begin{eqnarray} 3x&=&7\quad/\cdot2\\ 2\cdot3x&=&2\cdot7\\ 6x&=&14 \end{eqnarray}$$

Цей приклад навряд чи мав великий сенс. Множення використовують, наприклад, коли треба позбутися дробів:

$$3=\frac{2}{5x}$$

Якщо помножити це рівняння на знаменник дробу в правій частині, то вираз 5x чудово скоротиться завдяки властивостям дробів.

$$\begin{eqnarray} 3&=&\frac{2}{5x}\quad/\cdot5x\\ 5x\cdot3&=&5x\cdot\frac{2}{5x}\\ \end{eqnarray}$$

Тепер помножимо дріб на вираз 5x, внаслідок чого 5x опиниться в чисельнику дробу, і далі ми зможемо скоротити 5x, бо він є і в знаменнику, і в чисельнику.

$$\begin{eqnarray} 15x&=&\frac{5x\cdot2}{5x}\\ 15x&=&2\\ \end{eqnarray}$$

На початку цього розділу сказано, що множити на нуль не можна. Щойно ми множили на вираз 5x, але цей вираз містить змінну, і якщо підставити в неї нуль, то весь вираз стане нулем — і ось ми вже множимо на нуль. Що з цим робити?

Це розв'язують так: визначають умови, за яких можна виконати таке перетворення. Тут треба записати, що множити на 5x можна лише за припущення, що x не дорівнює нулю. Але тепер погляньмо ще раз на рівняння, яке ми множили. Вираз 5x там уже є, і стоїть він у знаменнику дробу. Що це означає? Ділити на нуль не можна, тож уже сама область визначення функції $\frac{2}{5x}$ виключає, щоб x дорівнював нулю.

Отже, ще раз: рівняння містить дріб із виразом 5x у знаменнику. Оскільки ділити на нуль не можна, рівняння має сенс лише тоді, коли x не дорівнює нулю. Тому ми можемо спокійно помножити все рівняння на 5x, адже потрібні умови вже забезпечує область визначення функції в знаменнику.

Множення на складніші вирази

Тепер важливе зауваження: якщо множимо рівняння на якийсь вираз, то завжди треба множити всю праву і всю ліву частину. Для прикладу візьмімо таке рівняння:

$$x+2=x-4$$

Якби ми хотіли помножити його на двійку, довелося б множити цілі частини, ось так:

$$\begin{eqnarray} 2\cdot(x+2)&=&2\cdot(x-4)\\ 2x+4&=&2x-8 \end{eqnarray}$$

Помилкою було б не записати там дужки, бо ми отримали б хибний результат:

$$\begin{eqnarray} 2\cdot x+2&=&2\cdot x-4\\ 2x+2&=&2x-4 \end{eqnarray}$$

Бачимо, що результат інший, ніж у попередньому випадку. Так само, якщо множиш на складніший вираз, треба множити все рівняння. Для прикладу візьмімо рівняння

$$2x+1=\frac{2}{x+3}.$$

Це рівняння помножимо на вираз x + 3, щоб позбутися змінної в знаменнику праворуч.

$$\begin{eqnarray} 2x+1&=&\frac{2}{x+3}\quad /\cdot(x+3)\\ (x+3)(2x+1)&=&(x+3)\frac{2}{x+3}\\ (x+3)(2x+1)&=&\frac{2(x+3)}{x+3} \end{eqnarray}$$

Дріб має вигляд, у якому його легко скоротити на вираз x + 3:

$$\begin{eqnarray} (x+3)(2x+1)&=&\frac{2(x+3)}{x+3}\\ (x+3)(2x+1)&=&2 \end{eqnarray}$$

Тепер можна розкрити дужки в лівій частині рівняння і наприкінці відняти двійку, щоб «перенести» її ліворуч, завдяки чому праворуч отримаємо нуль.

$$\begin{eqnarray} (x+3)(2x+1)&=&2\\ 2x^2+x+6x+3&=&2\\ 2x^2+7x+3&=&2\quad/-2\\ 2x^2+7x+1&=&0 \end{eqnarray}$$

Ділення

Так само як рівняння можна множити, його можна й ділити. З тим самим обмеженням, що й при множенні, — не можна ділити на нуль. Адже ділення легко перетворити на множення. Якщо хочемо поділити рівняння на вираз w, це буде те саме, що помножити рівняння на дріб 1/w. Ділення часто використовують у таких прикладах:

$$12x=7$$

Це тип рівняння, з яким ми вже мало що зробимо, хіба що поділимо все рівняння на дванадцять і так отримаємо значення x.

$$\begin{eqnarray} 12x&=&7\quad/:12\\ x&=&\frac{7}{12} \end{eqnarray}$$

Той самий результат ми отримали б, помноживши рівняння на 1/12:

$$\begin{eqnarray} 12x&=&7\quad/\cdot\frac{1}{12}\\ 12x\cdot\frac{1}{12}&=&7\cdot\frac{1}{12}\\ \frac{12x}{12}&=&\frac{7}{12}\\ x&=&\frac{7}{12} \end{eqnarray}$$

Піднесення до степеня

Перетворюючи рівняння, можна використовувати й степені, але з певними обмеженнями. Спершу пригадаймо, як працюють степені. Чи виконується така рівність?

$$\sqrt{x^2}=x$$

Якщо піднести якесь число до квадрата, а потім добути квадратний корінь, чи отримаємо початкове число? Це підступне запитання, і відповідь така: не завжди. Уяви, що ти підставляєш за x від'ємне число, наприклад мінус три:

$$\begin{eqnarray} \sqrt{(-3)^2}&=&-3\\ \sqrt{9}&=&-3\\ 3&\ne&-3 \end{eqnarray}$$

Як бачимо, рівність раптом не виконується, бо коли від'ємне число піднести до квадрата, отримаємо додатне число. А коли з додатного числа добути корінь, отримаємо знову додатне число. Коли ж ця рівність виконувалася б? Тоді, коли ми знаємо, що працюємо лише з додатними, а точніше з невід'ємними числами. Тож можемо дозволити собі піднести рівняння до квадрата, якщо знаємо, що працюємо з додатними числами.

Наприклад, у геометрії ми часто розв'язуємо рівняння, що містять довжини якихось відрізків, і тоді можна без остраху підносити до степеня, бо довжина не може бути від'ємною. Так само і при піднесенні до степеня чи добуванні кореня: підносити треба обидві частини рівняння цілком. Отже, приклад:

$$\sqrt{x+2}=x+4$$

Припустімо, що ми рухаємося лише серед додатних чисел, тому можемо дозволити собі піднести до квадрата все рівняння:

$$\begin{eqnarray} \sqrt{x+2}&=&x+4\quad/^2\\ \left(\sqrt{x+2}\right)^2&=&(x+4)^2\\ x+2&=&x^2+8x+16\\ x^2+7x+14&=&0 \end{eqnarray}$$

Ми отримали квадратне рівняння, яке можна розв'язати способами, описаними в статті про нього.

Як розв'язувати рівняння, яке треба піднести до квадрата, але ми не можемо бути певні, що працюємо лише з додатними числами? Просто підносимо його до квадрата, а потім робимо перевірку, адже піднесення до степеня може дати результати, що не є розв'язками рівняння. Отже, приклад:

$$\sqrt{x}=x-2$$

Тепер піднесемо рівняння до квадрата:

$$\begin{eqnarray} \sqrt{x}&=&x-2\quad/^2\\ \left(\sqrt{x}\right)^2&=&(x-2)^2\\ x&=&x^2-4x+4\\ x^2-5x+4&=&0 \end{eqnarray}$$

Знову отримуємо квадратне рівняння, тож розв'яжемо його якимось відповідним способом, наприклад розкладом на множники (точний спосіб описано в статті, на яку є посилання):

$$(x-1)(x-4)=0$$

Бачимо, що один результат — 1, а другий — 4. Але ми знаємо, що виконали нерівносильне перетворення, тож мусимо ще зробити перевірку. Підставимо ці розв'язки в початкове рівняння й з'ясуємо, який із результатів є розв'язком початкового рівняння. Спочатку підставимо одиницю:

$$\begin{eqnarray} \sqrt{x}&=&x-2\\ \sqrt{1}&=&1-2\\ 1&\ne&-1 \end{eqnarray}$$

Перевіркою ми з'ясували, що одиниця не є розв'язком початкового рівняння. А що четвірка?

$$\begin{eqnarray} \sqrt{x}&=&x-2\\ \sqrt{4}&=&4-2\\ 2&=&2 \end{eqnarray}$$

Четвірка є розв'язком початкового рівняння, ми знайшли результат.