Тригонометричні рівняння

Тригонометричні рівняння — це рівняння, які містять якусь тригонометричну функцію, тобто синус, косинус, тангенс або котангенс.

Найпростіше тригонометричне рівняння

Розгляньмо рівняння sin x = 0. За яких x воно виконується? Коли синус дорівнює нулю? Почнімо з того, що подивимося на графік:

Бачимо, що sin x дорівнює нулю досить часто. Зокрема, для значень −π, 0, π, 2π та багатьох інших. Оскільки синус — періодична функція, між окремими розв'язками рівняння будуть однакові проміжки — у нашому випадку завдовжки π. Тому множину всіх розв'язків цього рівняння можна записати як множину, позначімо її R, яку задамо так:

$$ R = {k\cdot\pi \mid k \in \mathbb{Z}} $$

Це всі добутки числа пі на k, де k — ціле число. Так ми описали множину всіх розв'язків рівняння sin x = 0.

Нагадаймо, що синус і косинус мають область значень [−1; 1], тож рівняння sin x = 2 не має жодного розв'язку, бо ми не зможемо знайти таке x, для якого вираз sin x мав би значення, більше за одиницю. Рівняння 3 · sin x = 2 уже має розв'язки, адже ми можемо поділити весь вираз на три, і в правій частині буде число, менше за одиницю. Ми шукали б корені рівняння sin x = 2/3.

Розв'язування простого прикладу

Прості тригонометричні рівняння розв'язуємо так: наприклад, з графіка або з одиничного кола зчитуємо їхнє значення й визначаємо період, який додаємо до результату. Приклад: розв'яжи рівняння

$$ \sin x = \frac12 $$

Графік функції синус наведено вище, тож подивімося, коли крива має значення $\frac12$. Бачимо, що це в точках 1/6π і 5/6π. Наполегливо раджу вивчити табличні значення тригонометричних функцій: без них навіть погляд на графік не допоможе.

Тепер треба визначити період, щоб знати, як побудувати множину всіх розв'язків. Функція синус має період 2π — якщо подивитися на графік, видно, що щоразу через 2π функція починає повторюватися.

Отже, якщо один розв'язок рівняння — 1/6π, то й будь-яке число 1/6π + 2kπ, де k — ціле число, має бути розв'язком, бо в цій точці функція синус має те саме значення функції. Множник 2k лише означає, що нас цікавлять тільки парні цілі числа. Якщо підставити замість k будь-яке ціле число й помножити його на два, отримаємо парне число. Так само для другого кореня, 5/6π. У точках 5/6π, 5/6π + 14π і 5/6π − 82π функція sin x має те саме значення, тому розв'язками рівняння будуть усі числа 5/6π + 2kπ.

Запишімо підсумкову множину R, яка буде об'єднанням обох попередніх результатів:

$$ R = \left\{\frac16\pi+2k\pi \mid k\in\mathbb{Z}\right\} \cup \left\{\frac56\pi+2k\pi \mid k\in\mathbb{Z}\right\} $$

Графічно розв'язки можна зобразити як точки перетину графіків функції sin x (червоний графік) і функції $y = \frac12$ (зелений графік).

Наприклад, якби ми підставили k = 0, то отримали б розв'язки:

$$\begin{eqnarray} x_1 &=& \frac16\pi+2k\pi = \frac16\pi+2\cdot0\cdot\pi=\frac16\pi\\ x_2 &=& \frac56\pi+2k\pi = \frac56\pi+2\cdot0\cdot\pi=\frac56\pi \end{eqnarray}$$

Тобто x₁ = 1/6π і x₂ = 5/6π. На рисунку їм відповідають точки B і C, бо їхня абсциса дорівнює саме 1/6π і 5/6π відповідно. Якби ми підставили k = 1, то отримали б точки D і E.

Заміна змінної

Якщо під знаком функції стоїть складніший вираз, можна скористатися заміною змінної. Наприклад, щоб розв'язати рівняння sin 2x = 1, замінимо a = 2x і далі працюємо з рівнянням sin a = 1, так само як ми показали в попередньому розділі. Заміна зазвичай виглядає так: беремо аргумент функції, у нашому випадку 2x, і замість нього пишемо якусь іншу змінну. Назвати її можна як завгодно, тут ми вибрали назву a. Можна було б навіть замінити q = 2x або апельсин = 2x і тоді писати sin апельсин = 1.

Заміна спрощує вираз, з яким ми зараз працюємо. З тим, що вираз a насправді дорівнює 2x, ми розберемося пізніше.

Тепер розв'язуємо рівняння sin a = 1, де a — змінна. Шукаємо, коли синус дорівнює одиниці. Виходить, що синус дорівнює одиниці при значенні π/2 + 2kπ. Корені рівняння sin a = 1 — це значення з множини

$$ R = \left\{\frac{\pi}{2}+2k\pi \mid k\in\mathbb{Z}\right\}. $$

Наприкінці треба згадати про нашу заміну — її потрібно повернути. Ми знаємо, що розв'язками рівняння sin a = 1 є елементи попередньої множини R. Але нас цікавить розв'язок іншого рівняння, sin 2x = 1. При цьому ми знаємо, що a = 2x.

Візьмімо з множини розв'язків R один конкретний, наприклад, для k = 1 отримаємо конкретний розв'язок a = π/2 + 2π. У цій точці рівняння sin a = 1 виконується. Оскільки a = 2x, то водночас 2x = π/2 + 2π (ми просто написали 2x замість a).

Проте нас цікавить не 2x, а значення x, тож ділимо все рівняння на два. Так отримуємо рівняння x = π/4+π. Це один конкретний розв'язок рівняння sin 2x = 1.

Щоб отримати всі розв'язки, треба виконати це перетворення з усіма елементами множини R. Складемо рівняння:

$$ 2x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi $$

і виразимо x, тобто поділимо все рівняння на два:

$$ x = \frac{\pi}{4} + k\pi $$

Це й є розв'язок. Запишімо його ще як нову множину R':

$$ R' = \left\{\frac{\pi}{4} + k\pi \mid k\in\mathbb{Z}\right\} $$

Правильність розв'язку знову можна перевірити графічно. Червоним зображено графік функції sin 2x, зеленим — функції y = 1.

Якщо підставити k = 0, отримаємо x = π/4, що відповідає точці C. Якщо підставити k = 2, отримаємо x = π/4 + 2π, що відповідає точці E.

Формули

Під час розв'язування тригонометричних рівнянь часто використовують найрізноманітніші формули, які варто знати. Деякі з них основні, інші складніші. Формули для тригонометричних функцій винесено на окрему сторінку, тож заглянь туди.

Приклади

1. Розв'яжи рівняння sin (3x−π/2) = 0.

   Скористаємося простою заміною a = 3x−π/2 і розв'яжемо рівняння sin a = 0. Ми вже знаємо, що синус дорівнює нулю при a = kπ. Підставимо заміну назад і розв'яжемо рівняння:

   $$ 3x-\frac{\pi}{2} = k\pi $$

   Спочатку перенесемо π/2 у праву частину, тобто додамо до обох частин π/2:

   $$ 3x = k\pi + \frac{\pi}{2} $$

   А тепер поділимо рівняння на три:

   $$ x = \frac{k\pi}{3} + \frac{\pi}{6} $$

   Розв'язком є множина R₁, задана так:

   $$ R_1 = \left\{\frac{k\pi}{3} + \frac{\pi}{6} \mid k\in\mathbb{Z}\right\} $$

   Відповідь: $x = \frac{k\pi}{3} + \frac{\pi}{6}$, k∈ℤ.

   Знову рисунок:

   

   Для k = 1 отримуємо x = π/3 + π/6 = π/2, тобто точку E.

2. Розв'яжи рівняння cos²x − sin x = 1.

   Спочатку скористаймося формулою й замінимо cos² x на 1 − sin² x. Підставимо в рівняння й отримаємо:

   $$\begin{eqnarray} 1-\sin^2x-\sin x &=& 1\\ \sin^2x+\sin x &=& 0 \end{eqnarray}$$

   Тепер винесемо за дужки sin x:

   $$ \sin x (\sin(x) + 1) = 0 $$

   Оскільки ліву частину рівняння ми розклали на множники, а в правій частині маємо нуль, окремо розв'яжемо рівняння sin x = 0 і sin(x) + 1 = 0: уся ліва частина дорівнюватиме нулю, якщо хоча б один множник дорівнює нулю.

   Рівняння sin x = 0 ми вже кілька разів розв'язували, його розв'язки мають вигляд kπ, де k — ціле число.

   Друге рівняння, sin(x) + 1 = 0, перетворимо на sin(x) = −1. Синус дорівнює мінус одиниці для значень 3/2π + 2kπ.

   Усі елементи шуканої множини R₂ отримаємо об'єднанням.

   $$ R_2 = \left\{\frac32\pi + 2k\pi \mid k\in\mathbb{Z}\right\} \cup \left\{k\pi \mid k\in\mathbb{Z}\right\} $$

   Рисунок:

   

   Бачимо, що точки A, C, D і F мають абсцису, кратну π, тож їх описує права множина в попередньому об'єднанні. А якщо в лівій множині об'єднання підставити k = 0, отримаємо x = 3π/2, що відповідає точці E, а якщо підставити k = −1, отримаємо x = 3π/2 − 2π = −π/2, що відповідає точці B.

3. Розв'яжи рівняння cos² x − sin²x + cos x = 0.

   На першому кроці застосуємо формулу sin²x = 1−cos²x і замінимо синус у квадраті:

   $$\begin{eqnarray} \cos^2x-(1-\cos^2x)+\cos x = 0\\ \cos^2x -1+\cos^2x+\cos x = 0\\ \end{eqnarray}$$

   На наступному кроці все це додамо:

   $$ 2\cos^2x+\cos x-1=0 $$

   І наприкінці зробимо заміну a = cos x.

   $$ 2a^2+a-1=0 $$

   Це вже розв'яжемо як звичайне квадратне рівняння. Результати:

   $$ a_1 = -1, a_2=\frac12 $$

   Наприкінці повернемо заміну й розв'яжемо пару рівнянь cos x = −1 і $\cos x = \frac12$, а отримані множини об'єднаємо. Це вже нескладно, і ми розв'язували таке вище.

4. Розв'яжи рівняння sin²x−cos²x = 1.

   Спочатку застосуємо класичну формулу й виразимо косинус через синус. Отримаємо:

   $$ 2\sin^2x=2 $$

   Поділимо на два й віднімемо одиницю:

   $$ \sin^2x-1=0 $$

   Тепер застосуємо формулу a² − b² = (a − b)(a + b):

   $$ (\sin(x) - 1)\cdot(\sin(x) + 1) = 0 $$

   Добуток двох виразів дорівнює нулю тоді, коли хоча б один із виразів дорівнює нулю. Коли sin x = 1 і sin x = −1, ми вже знаємо. Розв'язком тригонометричного рівняння є:

   $$ R_4 = \left\{\pi/2+2k\pi \mid k\in\mathbb{Z}\right\} \cup \left\{3\pi/2+2k\pi \mid k\in\mathbb{Z}\right\} = \left\{\pi/2+k\pi \mid k\in\mathbb{Z}\right\} $$

   Рисунок: