Показникові рівняння

Звичайне рівняння стає показниковим, якщо містить змінну в показнику степеня. У загальному вигляді показникове рівняння можна записати так: $a^{f(x)} = b^{g(x)}$, де a, b>0. Типовий приклад показникового рівняння — 2^x = 8. Тут цілком очевидно, що розв'язком буде число три, бо два в третьому степені дорівнює восьми. А тепер перейдімо до трохи математичнішого підходу.

Просте показникове рівняння

Щоб розв'язати показникове рівняння, дуже зручно мати змогу звести його до вигляду $a^{f(x)} = b^{g(x)}$, де a = b. Адже зрозуміло, що за однакових основ степені рівні тоді, коли рівні й показники. Отже, залишається розв'язати лише рівняння f(x) = g(x). Попередній приклад можна перетворити так: вісімку запишемо як степінь двійки, 2^x = 2³, і отримаємо однакові основи, а тому просто прирівнюємо обидва показники й одразу дістаємо результат x = 3. Приклад можна ускладнити, наприклад, так: 2^2x = 8, після перетворення знову маємо 2^2x = 2³ і розв'язуємо 2x = 3, звідки відповідь 1,5.

Ще один простий випадок — коли в одній частині рівняння стоїть одиниця. Розгляньмо такий приклад:

$$5^{3x-2} = 1$$

Здається складним, але якщо ти знаєш основні властивості степенів, то знаєш і те, що одиницю можна отримати лише двома способами: або основа дорівнює одиниці (тоді одиниця в будь-якому степені дає одиницю), або показник дорівнює нулю — будь-яке число в нульовому степені знову дає одиницю. Ми, звісно, скористаємося другою властивістю й перепишемо попереднє рівняння так: 5^{3x − 2} = 5⁰. Тепер рівняння має вигляд, який ми вже вміємо розв'язувати (див. попередній абзац). Достатньо порівняти показники. Отримуємо рівняння 3x − 2 = 0. Це вже тривіальне лінійне рівняння.

Логарифмування показникового рівняння

Якщо рівняння не вдається звести до однакових основ, можна спробувати метод логарифмування. Наша вчителька завжди казала: «Діти, якщо не знаєте, що робити далі, просто прологарифмуйте!» — і мала рацію. Якщо в показниковому рівнянні основи різні, а звести їх до однакової неможливо (або невигідно), прологарифмуй усе рівняння. З початкового рівняння

$$a^{f(x)}=b^{g(x)}$$

отримаємо

$$\lg a^{f(x)}=\lg b^{g(x)}$$

і за формулою для роботи з логарифмами маємо

$$f(x)\cdot \lg a = g(x)\cdot \lg b.$$

Розгляньмо такий приклад:

$$2^x\cdot5^{2x}=3^{x-2}$$

Основи різні, і звести їх до однакової не вийде, тому логарифмуємо все рівняння:

$$\lg(2^x\cdot5^{2x})=\lg(3^{x-2})$$

Тепер скористаємося властивостями логарифмів і перетворимо логарифм добутку на суму логарифмів у лівій частині:

$$\lg2^x+\lg5^{2x}=\lg 3^{x-2}$$

Знову застосуємо властивості логарифмів і «винесемо» показники за знак логарифма.

$$x\cdot\lg2+2x\cdot\lg5=(x-2)\lg3$$

Розкриємо дужки в правій частині рівняння:

$$x\cdot\lg2+2x\cdot\lg5=x\lg3-2\lg3$$

Доданки зі змінною перенесемо в ліву частину рівняння:

$$x\cdot\lg2+2x\cdot\lg5-x\cdot\lg3=-2\lg3$$

Далі винесемо за дужки x:

$$x(\lg2+2\lg5-\lg3)=-2\lg3$$

Виразимо x:

$$x=\frac{-2\lg3}{\lg2+2\lg5-\lg3}$$

Це, власне, і є результат. Можна ще раз застосувати властивості логарифмів і з $2\lg 5$ зробити $\lg 5^2 =\lg 25$, але це справді останнє, що можна зробити з результатом.

Заміна змінної

Показникові рівняння можна розв'язувати й за допомогою заміни змінної. Покажемо це на прикладі:

$$7^{2x}+7^x-6=0.$$

Введімо заміну a = 7^x. Тепер перепишемо початкове рівняння, підставивши замість 7^x змінну a. Отримаємо таке (вже не показникове) рівняння:

$$a^2+a-6=0.$$

Це звичайне квадратне рівняння. Його корені — числа 2 і −3.

Тепер ці корені підставимо в заміну a = 7^x. Тобто 2 = 7^x. Прологарифмуємо:

$$\lg2=x\cdot\lg 7$$

і виразимо x:

$$x=\frac{\lg 2}{\lg 7}$$

Другий корінь підставляти вже не треба, бо він від'ємний: після підстановки ми б отримали логарифм від'ємного числа, а це неможливо. Ось і розв'язано показникове рівняння.

Приклади

Розв'яжи таке показникове рівняння:

$$2^{3x-4} = 8^{2x + 1}.$$

На перший погляд бачимо, що основи в обох частинах різні. Прикро. Але придивившись, неважко помітити перетворення, яке дасть однакові основи. Замість вісімки просто працюватимемо з 2³, що дорівнює восьми. Застосувавши формулу піднесення степеня до степеня, отримуємо:

$$\begin{eqnarray} 2^{3x-4}&=&8^{2x + 1}\\ 2^{3x-4}&=&2^{3\cdot(2x+1)}\\ 2^{3x-4}&=&2^{6x+3} \end{eqnarray}$$

Тепер основи однакові, і можна розв'язати просте лінійне рівняння 3x − 4 = 6x + 3:

$$\begin{eqnarray} 3x-4&=&6x+3\\ -3x&=&7\\ x&=&-\frac73 \end{eqnarray}$$

Відповідь: $x=-\frac73$.

Розв'яжи таке показникове рівняння:

$$5^x\cdot 2^x=100^{x-1}.$$

Тут, як зазвичай, основи не однакові. Але, мабуть, усі здогадуються, що їх можна якось привести до однакової основи. До лівої частини застосуємо формулу множення степенів з однаковим показником, а до правої — ту саму формулу, що й щойно, і з 100^{x − 1} зробимо 10^{2(x − 1)}:

$$\begin{eqnarray} 5^x\cdot2^x&=&100^{x-1}\\ 10^x&=&10^{2(x-1)}\\ 10^x&=&10^{2x-2} \end{eqnarray}$$

І знову маємо однакові основи, тож можна розв'язувати звичайне лінійне рівняння:

$$\begin{eqnarray} x&=&2x-2\\ -x&=&-2\\ x&=&2 \end{eqnarray}$$

Відповідь: x = 2.

Розв'яжи показникове рівняння:

$$3^x+3^{x+1}=108.$$

Як завжди, до однакової основи спершу треба дійти. Тут нам допоможе винесення за дужки: з виразу в лівій частині винесемо 3^x. Потім додамо вирази в дужках і отримаємо просте рівняння.

$$\begin{eqnarray} 3^x+3^{x+1}&=&108\\ 3^{x}(1+3^1)&=&108\\ 4\cdot3^x&=&108\\ 3^x&=&27 \end{eqnarray}$$

Ліву частину ми перетворили, тепер час взятися за праву. Цілком зрозуміло, що це третій степінь числа три:

$$\begin{eqnarray} 3^x&=&27\\ 3^x&=&3^3 \end{eqnarray}$$

Залишився останній крок — основи рівні, тому прирівнюємо показники:

$$x=3$$

Відповідь: x = 3.

Розв'яжи таке показникове рівняння:

$$4^{2x}-6\cdot4^{x}+8=0.$$

У цьому випадку спробуємо звести показникове рівняння до звичайного квадратного. Найкраще це вдасться за допомогою заміни 4^x = a:

$$a^2-6a+8=0$$

Тепер маємо стандартне квадратне рівняння, тож обчислюємо дискримінант і корені:

$$\begin{eqnarray} D&=&36-4\cdot8\\ a_{1{,}2}&=&\frac{(6\pm2)}{2}\\ a_1&=&4\\ a_2&=&2 \end{eqnarray}$$

Ці проміжні результати ще треба підставити назад у заміну. Перший результат:

$$\begin{eqnarray} 4^x&=&4\\ x&=&1 \end{eqnarray}$$

Другий результат:

$$\begin{eqnarray} 4^x&=&2\\ 4^x&=&4^{\frac12}\\ x&=&\frac12 \end{eqnarray}$$

Відповідь: x₁ = 1, $x_2=\frac12$.