Лінійне рівняння

Лінійне рівняння — це таке рівняння, яке можна звести до вигляду ax + b = 0, де a≠0. Конкретний приклад міг би виглядати так: 2x + 4 = 0. Розв'язком цього рівняння є число −2, до чого можна додуматися цілком логічно. Якби числа були трохи більші, здогадатися було б уже не так просто, тож потрібен якийсь конкретніший спосіб.

Загальний вигляд лінійного рівняння

Лінійне рівняння — це рівняння, яке містить одну невідому x, що не підноситься до степеня, не стоїть під коренем тощо. Поглянь на приклади різних лінійних рівнянь:

$$\begin{eqnarray} 2x+7&=&0\\ x-2&=&74\\ (x+3)-(7x\cdot3)&=&-12x\\ \frac{x}{2}+\frac{3x}{72}&=&x\cdot\frac{45}{8}+\frac{x^2}{x} \end{eqnarray}$$

Як бачиш, лінійне рівняння може мати багато різних виглядів. Щоб гарно розв'язувати лінійні рівняння, потрібно звести їх до загального вигляду. Загальний вигляд лінійного рівняння такий:

$$ax+b=0,$$

де x — невідома, а символи a і b — довільні дійсні числа. При цьому число a не може дорівнювати нулю, тобто a≠0. Вираз ax називаємо лінійним членом, вираз b — вільним членом.

Розв'язуючи лінійне рівняння, можна використати багато різних рівносильних перетворень (тобто таких перетворень, що не змінюють розв'язків рівняння). Ці перетворення необхідно знати, без них неможливо розв'язати якесь складніше рівняння. Звести рівняння до загального вигляду можна або перетворенням самих виразів, що містяться в рівнянні, або рівносильними перетвореннями рівнянь.

З попередніх прикладів: рівняння 2x + 7 = 0 уже має загальний вигляд, і a = 2, b = 7. Друге рівняння, x − 2 = 74, не має загального вигляду. Скористаємося рівносильним перетворенням і додамо до обох частин рівняння число −74 (тобто віднімемо від обох частин число 74). Отримаємо рівняння x − 76 = 0. Це рівняння вже має загальний вигляд, і a = 1, b = −76.

Передостаннє рівняння далеке від загального вигляду, але й його можна відповідно перетворити. Спершу «виготовимо» праворуч нуль. Додамо до рівняння вираз 12x. Тим самим обнулимо праву частину, бо (−12x)+12x = 0. Усе рівняння виглядатиме так:

$$(x+3)-(7x\cdot3)+12x=0$$

Тепер залишилося лише розкрити дужки та звести подібні доданки.

$$\begin{eqnarray} (x+3)-(7x\cdot3)+12x&=&0\\ x+3-21x+12x&=&0\\ -8x+3&=&0 \end{eqnarray}$$

Це лінійне рівняння має загальний вигляд, і a = −8, b = 3.

В останньому рівнянні треба, по-перше, позбутися дробів, а по-друге, прибрати x², бо такого виразу в лінійному рівнянні бути не може. Дріб $\frac{x^2}{x}$ можна просто скоротити до виразу x. Отримаємо рівняння

$$\frac{x}{2}+\frac{3x}{72}=x\cdot\frac{45}{8}+x$$

Дробів позбудемося, помноживши все рівняння на 72:

$$72\cdot\frac{x}{2}+72\cdot\frac{3x}{72}=72x\cdot\frac{45}{8}+72x$$

Скоротимо:

$$36x+3x=9x\cdot45+72x$$

А це рівняння вже легко перетворимо на лінійне: перенесемо всі вирази ліворуч і зведемо подібні доданки:

$$-438x=0$$

Тут a = −438 і b = 0.

Як розв'язати лінійне рівняння

Якщо лінійне рівняння має загальний вигляд, то розв'язати його вже легко. Покажемо це на прикладі: 3x − 18 = 0. Від чого треба відняти число 18, щоб отримати нуль? Звісно, від числа 18. Отже, щоб вираз 3x − 18 дорівнював нулю, вираз 3x має дорівнювати 18, тоді отримаємо 18 − 18 = 0. Коли вираз 3x дорівнюватиме 18? Саме тоді, коли x = 6, бо 3 · 6 = 18.

Як із цього вивести загальний спосіб? Спершу треба з'ясувати, чому має дорівнювати лінійний член ax. Це дізнаємося, перенісши вільний член у праву частину рівняння, тобто додавши до рівняння −b. Так отримаємо рівняння ax + b − b = −b, а це те саме, що ax = −b. У попередньому прикладі ми отримали б 3x − 18 + 18 = 18, тобто 3x = 18. Не забувай, що число b дорівнювало b = −18, тож коли додаємо −b, додаємо −(−18), а це дорівнює +18.

Рівняння має вигляд ax = −b. Як отримати безпосередньо x? У прикладі ми шукали таке x, яке після множення на три дає 18. Що ми насправді робили? Ділили 18/3 = 6. Тобто взяли вираз праворуч (−b) і поділили його на значення a, у прикладі — на трійку. Отже, з ax = −b отримуємо

$$x=\frac{-b}{a}=-\frac{b}{a}$$

Увесь спосіб, застосований до першого прикладу, виглядає так:

$$\begin{eqnarray} 3x-18&=&0\quad/+18\\ 3x&=&18\quad/:3\\ x&=&6 \end{eqnarray}$$

Геометричний зміст

Якщо звести лінійне рівняння до загального вигляду, то ліворуч отримаємо лінійну функцію. Графік лінійної функції — пряма. Оскільки загальний вигляд лінійного рівняння такий: ax + b = 0, то розв'язками цього рівняння є абсциси всіх точок, у яких пряма (графік лінійної функції) перетинає вісь Ox (що водночас є графіком функції f(x) = 0, тобто правої частини).

Наприклад, ми з'ясували, що розв'язком рівняння 3x − 18 = 0 є x = 6. Що це означає? Що графік функції 3x − 18 перетинає вісь Ox у точці x = 6.

Спробуймо графічно розв'язати рівняння 5x + 2 = 2x − 7. Як можна діяти? Можна звести рівняння до загального вигляду, тобто додати −2x, отримавши 3x + 2 = −7, а потім додати 7: 3x + 9 = 0. Тепер накреслимо графік лінійної функції y = 3x + 9 і з'ясуємо, коли він перетинає вісь Ox.

Другий спосіб — зовсім не перетворювати рівняння, а накреслити графіки функцій з обох частин рівняння. Тобто накреслимо графіки функцій f(x) = 5x + 2 і g(x) = 2x − 7.

Ці дві прямі перетнулися в одній точці, позначеній як A. Яку абсцису має ця точка A? Знову x = −3. Отже, графічним розв'язком рівняння 5x + 2 = 2x − 7 є абсциса точки перетину графіків функцій із лівої та правої частин.

Розв'язані приклади

Перший приклад: Спробуймо розв'язати рівняння 7x − 14 = 0. Ситуація проста, рівняння має загальний вигляд, тож лише застосуємо спосіб:

$$\begin{eqnarray} 7x-14&=&0\quad/+14\\ 7x&=&14\quad/:7\\ x&=&2 \end{eqnarray}$$

Другий приклад: Розв'яжи рівняння 2x + 10 = 0. Рівняння знову має загальний вигляд, лише зверни увагу, що b додатне, тож після перетворення праворуч вийде від'ємне число:

$$\begin{eqnarray} 2x+10&=&0\quad/-10\\ 2x&=&-10\quad/:2\\ x&=&-5 \end{eqnarray}$$

Третій приклад: Розв'яжи рівняння 15 − 3x = 0. Рівняння майже має загальний вигляд, потрібно лише поставити невідому x на перше місце. Тоді рівняння має вигляд −3x + 15 = 0. Знову зверни увагу: тут перед лінійним членом стоїть мінус, чого досі не було. Але перетворення будуть зовсім такі самі:

$$\begin{eqnarray} -3x+15&=&0\quad/-15\\ -3x&=&-15\quad/:(-3)\\ x&=&5 \end{eqnarray}$$

Цей приклад можна розв'язати й дещо інакше, довшим способом. Замість того щоб одразу ділити рівняння на число −3, можна спочатку помножити рівняння на число −1, і так позбутися обох мінусів. А потім уже поділити рівняння на три:

$$\begin{eqnarray} -3x+15&=&0\quad/-15\\ -3x&=&-15\quad/\cdot(-1)\\ 3x&=&15\quad/:3\\ x&=&5 \end{eqnarray}$$

Четвертий приклад: Розв'яжи лінійне рівняння

$$3+\frac{x}{4}=\frac{x}{2}$$

Це рівняння вже трохи складніше, бо містить дроби. Спершу треба позбутися цих дробів. Найкраще помножити все рівняння на найменше спільне кратне всіх знаменників. Маємо два знаменники, 4 і 2. Найменше спільне кратне — 4. Якщо не хочеться рахувати, можна помножити все рівняння на добуток усіх знаменників, тобто 4 · 2 = 8, але це не рекомендований спосіб, бо ти ускладниш собі життя на наступному кроці. Якщо помножимо рівняння на чотири, то позбудемося дробів, послідовно скоротивши їх і спростивши:

$$\begin{eqnarray} 3+\frac{x}{4}&=&\frac{x}{2}\quad/\cdot4\\ 4\cdot3+4\cdot\frac{x}{4}&=&4\cdot\frac{x}{2}\\ 12+\frac{4x}{4}&=&\frac{4x}{2}\\ 12+x&=&2x \end{eqnarray}$$

Тепер зведемо рівняння до загального вигляду: x − 12 = 0, і з цього рівняння вже видно, що x = 12.

П'ятий приклад / текстова задача: Маємо двох братів, Тараса й Івана. Іван пішов працювати одразу після школи, а Тарас ще вступив до університету, де навчався загалом п'ять років. Іван щомісяця отримував зарплату 25 000 грн. Попри те що Тарас здобув спеціальність «рекреологія» зі спеціалізацією «лежання на шезлонгу», йому вдалося влаштуватися на державну службу, де він отримував 35 000 грн на місяць. Через який час загальний заробіток Тараса зрівняється з заробітком Івана? Тобто для ясності: за п'ять років Іван заробив 5 · 12 · 25 000 гривень, а Тарас після п'яти років має нуль. Через скільки місяців ці суми стануть однаковими?

З умови можна скласти лінійне рівняння так: змінна x позначатиме шукану кількість місяців, причому x = 0 означає нуль місяців від того часу, як Тарас закінчив навчання.

Спершу складемо функцію, що визначатиме дохід Тараса залежно від кількості місяців. Отже, якщо нас цікавить, скажімо, дохід Тараса через шість місяців, то просто порахуємо, що 35 000 · 6 = 210 000 гривень. Загалом можна записати, що через x місяців Тарас заробив разом 35 000 · x гривень.

З Іваном було б подібно: 25 000 · x, але ще треба додати суму, яку він заробив, поки Тарас навчався. Тарас навчався п'ять років, тож Іван за час навчання заробив 5 · 12 · 25 000 гривень. Увесь вираз для Івана буде таким: 5 · 12 · 25 000 + 25 000 · x.

Складемо з цих функцій рівняння, бо нас цікавить, для якого x ці заробітки рівні:

$$ 5 \cdot 12 \cdot 25 000 + 25 000 \cdot x = 35 000 \cdot x $$

Рівняння просто перетворимо, перенісши всі x в один бік рівняння:

$$ 10000x = 5 \cdot 12 \cdot 25 000 $$

І нарешті поділимо на 10 000:

$$ x = 5 \cdot 12 \cdot 2{,}5 = 150 $$

Через 150 місяців обидва матимуть однакову суму грошей. Іван за час навчання Тараса заробив гарні 5 · 12 · 25 000 = 1 500 000 гривень, а за наступні 150 місяців заробив ще 25 000 · 150 = 3 750 000, що разом дає 1 500 000 + 3 750 000 = 5 250 000 гривень. Тарас працював лише ці 150 місяців і за цей час заробив 35 000 · 150 = 5 250 000 гривень. Бачимо, що після п'яти років навчання та ще 150 місяців обидва справді заробили однаково.

Інші приклади

Розв'яжи таке лінійне рівняння:

$$2\cdot(x - 7) = 6$$

Спершу розкриємо дужки:

$$2x-14=6$$

Тепер ліворуч залишимо вираз з невідомою, а все інше перенесемо праворуч:

$$2x=20$$

… і нарешті поділимо на два.

$$x=10$$

Розв'яжи рівняння

$$3\cdot(3 - x) + 5\cdot(x - 2) = 0$$

Знову спершу розкриємо дужки:

$$9-3x+5x-10=0$$

Зведемо подібні доданки, а змінні перенесемо ліворуч, решту — праворуч:

$$\begin{eqnarray} 9-3x+5x-10&=&0\\ 2x-1&=&0\\ 2x&=&1 \end{eqnarray}$$

Наприкінці поділимо все рівняння на два:

$$x=\frac12$$