Що таке рівняння

Рівняння — одне з основних понять математики і один із засобів, завдяки яким працює вся математика.

Вступний приклад

Рівняння має ліву частину, знак рівності та праву частину. Тривіальне рівняння може виглядати так:

$$x=2$$

Ліворуч стоїть змінна x, далі знак рівності, а праворуч число 2. Це рівняння просте й каже нам, що значення змінної x дорівнює двом. Змінна x зазвичай позначає те, що ми шукаємо. Це може бути, наприклад, кількість ґудзиків на сорочці або зарплата працівника.

Проте рівняння в такому вигляді — це радше те, до чого ми приходимо, ніж те, що дано в умові задачі. На практиці зазвичай маємо складніше рівняння: наприклад, нам відомо, скільки разом заробляють п'ятеро працівників, і треба дізнатися, скільки заробляє один (за умови, що всі заробляють однаково).

Припустімо, ми знаємо, що п'ятеро вчителів заробляють разом 120 000 гривень на місяць. Скільки заробляє один учитель? Рівняння складаємо так: через x позначимо зарплату одного вчителя. Тоді отримаємо рівняння:

$$5x=120 000$$

Це рівняння — математичний запис умови «п'ятеро вчителів мають у сумі зарплату 120 000». Наша мета — дізнатися зарплату одного вчителя, тобто знайти значення x = ?. Трохи забігаючи наперед, скористаємося рівносильними перетвореннями рівнянь і поділимо рівняння на п'ять. Якщо п'ятеро вчителів отримують 120 000, то один учитель отримує в п'ять разів менше. У результаті маємо

$$x=120 000 / 5$$

і після ділення

$$x=24 000.$$

Означення рівняння

Щоб означити поняття рівняння, нам потрібно знати, що таке функція. Якщо ми знаємо функції, то рівняння можна уявляти як запис рівності двох функцій:

$$f(x)=g(x)$$

Це загальний запис рівняння з однією змінною. Ліворуч маємо функцію f, а праворуч — функцію g. Наше завдання — знайти корені рівняння, тобто такі значення x, для яких функції f і g набувають однакового значення.

Отже, ми хочемо знайти такі конкретні значення x, позначимо їх x₁, для яких виконується

$$f(x_1)=g(x_1)$$

Для прикладу візьмімо рівняння 2x = −4x + 6. Тоді f(x) = 2x і g(x) = −4x + 6. Шукаємо такі x, для яких функція f має те саме значення, що й функція g. Розв'язавши рівняння за допомогою рівносильних перетворень, отримаємо:

$$\begin{eqnarray} 2x&=&-4x+6\\ 2x+4x&=&-4x+4x+6\\ 6x&=&6\\ x&=&1 \end{eqnarray}$$

Розв'язком рівняння є значення x = 1. Для цього значення обидві функції мають давати однаковий результат. Якщо підставити у функцію f одиницю, отримаємо

$$f(1)=2\cdot1=2$$

Функція f у точці 1 має значення 2. А що функція g? Підставимо в неї одиницю:

$$g(1)=-4\cdot1+6=-4+6=2$$

Бачимо, що знову отримали двійку. Отже, число один є коренем рівняння. Воно також єдиний корінь рівняння на множині дійсних чисел. Якби ми підставили інше значення, то отримали б різні результати. Наприклад, для п'ятірки було б:

$$\begin{eqnarray} f(5)&=&2\cdot5=10\\ g(5)&=&-4\cdot5+6=-20+6=-14 \end{eqnarray}$$

Графічний зміст

Розв'язки рівняння мають гарний і наочний графічний зміст. Якщо намалювати графіки функцій, що стоять ліворуч і праворуч у рівнянні, то ці графіки перетинатимуться саме там, де рівняння має розв'язок.

Повернімося до рівняння 2x = −4x + 6. Функція ліворуч — це f(x) = 2x, а функція праворуч — g(x) = −4x + 6. Ми знаємо, що коренем цього рівняння є значення x = 1. Отже, у точці один ці функції мають перетинатися. Ось рисунок із графіками обох функцій:

Бачимо, що прямі перетинаються в одній точці, а ця точка має координати (1; 2). Перша координата — це значення x, корінь рівняння. Друга — значення y, тобто спільне значення обох функцій, якщо підставити в обидві функції одиницю.

Розв'язками рівняння є всі точки, у яких функції ліворуч і праворуч перетинаються. Часто рівняння перетворюють так, щоб праворуч був нуль, тобто стала функція g(x) = 0. Тоді ми з'ясовуємо, коли функція ліворуч перетинає вісь Ox. Попереднє рівняння 2x = −4x + 6 можна перетворити так, щоб праворуч був нуль:

$$\begin{eqnarray} 2x&=&-4x+6\\ 6x&=&6\\ 6x-6&=&0 \end{eqnarray}$$

Якщо намалювати графік функції ліворуч…

… то побачимо, що графік перетинає вісь Ox у точці 1. Бачимо, що навіть після того, як ми перетворили рівняння так, щоб праворуч був нуль, результат вийшов той самий — знову одиниця.

Кількість розв'язків рівняння

З графічної інтерпретації рівнянь можна зробити висновок, скільки різних розв'язків може мати рівняння. Так ми легко відповімо на запитання на кшталт: чи кожне рівняння має розв'язок? Чи може рівняння мати більше ніж один розв'язок? Чи може рівняння мати нескінченно багато розв'язків?

Жодного розв'язку

Почнімо по черзі. Чи існує рівняння, яке не має розв'язків? Зведемо це до запитання: чи існують дві функції, графіки яких ніколи не перетинаються? Звісно, існують. Якщо залишитися при лінійних рівняннях, графіками яких є прямі, то достатньо взяти паралельні прямі. Наприклад:

$$x+1=x+2$$

Уже здоровим глуздом можна збагнути, що x + 1 ніколи не може дорівнювати x + 2. Якщо намалювати графік, отримаємо:

Бачимо, що функції — це паралельні прямі, які ніколи не перетинаються. Отже, рівняння, яке ми з них склали, не має жодного розв'язку. Рівняння можна перетворити так:

$$\begin{eqnarray} x+1&=&x+2\\ x-x&=&2-1\\ 0x&=&1\\ 0&\ne&1 \end{eqnarray}$$

Бачимо, що рівняння справді не має жодного розв'язку.

Можна придумати багато інших рівнянь без розв'язків, наприклад рівняння x² = x − 1. Графіки обох функцій ніколи не перетинаються:

Кілька розв'язків

Чи може рівняння мати більше ніж один розв'язок? (Але все ж менше ніж нескінченно багато.) Знову зведемо це до запитання: чи існують дві функції, графіки яких мають скінченну кількість точок перетину, причому цих точок більше за одну?

Звісно, існують. В останньому прикладі попереднього розділу ми мали рівняння з квадратичною та лінійною функціями. Попередній графік можна змінити: посунемо пряму так, щоб вона перетинала графік квадратичної функції рівно у двох точках. Для цього достатньо взяти замість y = x − 1 функцію y = x.

Бачимо, що графіки перетинаються у двох точках. Рівняння можна розв'язати так:

$$\begin{eqnarray} x^2&=&x\\ x^2-x&=&0\\ x\cdot(x-1)&=&0\\ x_1&=&0\\ x_2&=&1 \end{eqnarray}$$

Нескінченно багато розв'язків

Чи існують рівняння, які мають нескінченно багато розв'язків? Тобто чи існують два графіки, що перетинаються в нескінченно багатьох точках? Так, існують. Достатньо взяти якусь періодичну функцію і підібрати для неї відповідну пряму. Типова періодична функція — синус. Синус має область значень — відрізок [−1; 1] — і в цьому проміжку періодично повторюється.

Тож достатньо покласти sin(x) = a, де a належить області значень. Конкретний приклад міг би виглядати так: sin(x) = 0,5. Графіки функцій:

Бачимо, що на рисунку пряма перетинає синусоїду в кількох точках. Синусоїда продовжує хвилю і праворуч, і ліворуч, тож і праворуч, і ліворуч пряма перетне її ще нескінченно багато разів.

Однакові функції в рівнянні

Чи може трапитися так, що ми можемо підставити за x будь-яке значення з області визначення функцій і рівняння буде виконуватися? Це можливо лише тоді, коли обидві функції однакові або коли одну функцію можна перетворити на другу. Ось приклад:

$$2x+4=2\cdot(x+2)$$

На перший погляд з обох боків різні функції, але якщо розкрити дужки праворуч, отримаємо однакові функції:

$$2x+4=2x+4$$

Множина розв'язків такого рівняння дорівнює області визначення функцій, тобто множина розв'язків дорівнює множині дійсних чисел. Таке рівняння можна звести до вигляду 0 = 0.

$$\begin{eqnarray} 2x+4&=&2x+4 \qquad/-2x\\ 4&=&4 \qquad /-4\\ 0&=&0 \end{eqnarray}$$