Квадратні нерівності

Квадратну нерівність можна записати в загальному вигляді так: ax² + bx + c > 0 або ax² + bx + c < 0, де a, b, c — довільні дійсні числа, a ≠ 0. Замість «більше» і «менше» можна, звісно, використати «більше або дорівнює» та «менше або дорівнює».

Додатний коефіцієнт a

Така нерівність розв'язується подібно до звичайного квадратного рівняння: спершу обчислюємо дискримінант, а з результату виводимо подальший хід розв'язання. Якщо дискримінант додатний, відповідне рівняння має два дійсні корені. Корінь рівняння — це точка на осі Ox, у якій графік функції ax² + bx + c перетинає вісь Ox. Ці дві точки перетину ділять вісь Ox на три проміжки.

Спробуймо розв'язати нерівність 2x² − 7x + 3 < 0. Намалюємо графік функції 2x² − 7x + 3, він виглядає так:

Бачимо, що графік перетинає вісь Ox у двох точках: $x_1 = \frac12$ і x₂ = 3. Якби ми розв'язали звичайне квадратне рівняння, то отримали б той самий результат, адже дискримінант цього рівняння дорівнює

$$ D = b^2-4ac = (-7)^2-4 \cdot 2 \cdot 3 = 49 - 24 = 25 $$

Корені обчислимо так:

$$\begin{eqnarray} x_1 &=& \frac{-b-\sqrt{D}}{2a} = \frac{7-5}{4} = \frac12\\ x_2 &=& \frac{-b+\sqrt{D}}{2a} = \frac{7+5}{4} = 3\\ \end{eqnarray}$$

Ці два корені ділять вісь Ox на три проміжки.

• $\left(-\infty; \frac12\right)$ — на цьому проміжку значення додатні (графік розташований «над» віссю Ox, синя частина графіка)
• $\left(\frac12; 3\right)$ — на цьому проміжку значення від'ємні (графік розташований «під» віссю Ox, червона частина графіка)
• (3; +∞) — на цьому проміжку значення знову додатні, решта синьої частини графіка.

Зверни увагу, що в проміжках ми використовуємо круглі дужки, які позначають інтервал. Це означає, що числа 3 і $\frac12$ не належать інтервалу $\left(\frac12; 3\right)$. Річ у тім, що в точці x = 3 функція дорівнює нулю, а ми хотіли знайти проміжок, на якому значення менші за нуль.

Тепер маємо всю потрібну інформацію, щоб визначити розв'язок нерівності 2x² − 7x + 3 < 0. Запитаймо себе: коли значення функції 2x² − 7x + 3 менші за нуль? Вони менші за нуль на проміжку $\left(\frac12; 3\right)$, це червона частина графіка.

Відповідь: $x \in \left(\frac12; 3\right)$.

Спробуймо розв'язати ще такі нерівності:

• 2x² − 7x + 3 ≤ 0: ця нерівність відрізняється від попередньої тим, що тут стоїть ≤ замість простого <. Результат буде такий самий, як і в попередньому випадку, лише замість інтервалу використаємо відрізок. Отже, розв'язком буде відрізок $\left[\frac12; 3\right]$, бо в точках $\frac12$ і 3 функція 2x² − 7x + 3 дорівнює нулю, а ми тепер шукаємо, коли ця функція менша або дорівнює нулю. Не забувай, що в нерівності стоїть знак ≤.

• 2x² − 7x +3 > 0: розв'язком будуть «сині частини» графіка функції. Отримані проміжки потрібно об'єднати, бо функція додатна як на проміжку $\left(-\infty; \frac12\right)$, так і на проміжку (3; +∞). Отже, множина розв'язків має вигляд $\left(-\infty; \frac12\right) \cup \left(3; +\infty\right)$.

• 2x² − 7x +3 ≥ 0: знову ми лише змінили > на ≥. Тому розв'язком буде та сама множина, до якої додатково входять елементи $\frac12$ і 3, що ми позначаємо квадратними дужками: $\left(-\infty; \frac12\right] \cup \left[3; +\infty\right)$.

Від'ємний коефіцієнт a

Що було б, якби ми змінили попередню нерівність на −x² + x + 2 < 0? Головна зміна сталася в коефіцієнті a, який тепер дорівнює a = −1. У попередній нерівності ми мали 2x², коефіцієнт перед x² був додатним, а тут він від'ємний. Найкраще подивитися на графік:

Бачимо, що графік змінився насамперед тим, що тепер він має не форму літери «U», а форму пагорба. Але хід розв'язання не змінився. Знову виникають три проміжки:

• (−∞; −1): значення від'ємні.
• (−1; 2): значення додатні.
• (2; +∞): значення від'ємні.

Отже, розв'язком нерівності −x² + x + 2 < 0 буде об'єднання проміжків (−∞; −1) ∪ (2; +∞).

Але я не хочу щоразу малювати графіки!

Не обов'язково! Усі попередні розв'язки ґрунтувалися на тому, що ми малювали графік, зчитували з нього точки перетину з віссю Ox, а потім і те, чи значення на даному проміжку додатні, чи від'ємні. Але можна й інакше.

Якщо маємо квадратну нерівність 3x² − 4x + 1 < 0, можна просто розв'язати квадратне рівняння 3x² − 4x + 1 = 0 звичайними способами. Обчислимо дискримінант:

$$ D = b^2-4ac=(-4)^2-4\cdot3\cdot1=4 $$

Далі обчислимо корені квадратного рівняння:

$$\begin{eqnarray} x_1 &=& \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{4-2}{6} = \frac13\\ x_2 &=& \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{4+2}{6} = 1\\ \end{eqnarray}$$

Знаємо, що графік перетинає вісь Ox у точках $x_1=\frac13$ і x₂ = 1. Отримуємо три проміжки: $\left(-\infty; \frac13\right)$, $\left(\frac13; 1\right)$, (1; +∞). Питання в тому, як дізнатися, додатні чи від'ємні значення має функція f(x) = 3x² − 4x + 1 на даному проміжку.

Це з'ясовуємо так: підставляємо у функцію f(x) = 3x² − 4x + 1 будь-яке число з даного проміжку. Якщо результат додатний, то на всьому проміжку функція додатна. Те саме для від'ємних значень.

• Виберемо довільне число з проміжку $\left(-\infty; \frac13\right)$, наприклад нуль, з ним зручно обчислювати. Обчислимо значення функції f у нулі: f(0) = 3 · 0² − 4 · 0 + 1 = 1. Число 1 додатне, отже, на цьому проміжку значення додатні.

• Виберемо число з проміжку $\left(\frac13; 1\right)$: найкраще, мабуть, одну другу:

  $$f(\frac12) = 3\cdot\left(\frac12\right)^2-4\cdot\frac12+1=3\cdot\frac14-2+1=-\frac14$$

  Число $-\frac14$ від'ємне, отже, на цьому проміжку всі значення від'ємні.

• В останньому проміжку значення будуть такі самі, як у першому, — додатні. Знаки завжди чергуються: додатні — від'ємні — додатні або від'ємні — додатні — від'ємні. Але можна це й дообчислити. Виберемо число з проміжку (1; +∞), наприклад 10:

  $$ f(10) = 3\cdot10^2-4\cdot10+1=300-40+1=261 $$

  Це додатне число, тож усі значення на цьому проміжку додатні.

Залишилося дорозв'язати всю нерівність. Вона мала вигляд: 3x² − 4x + 1 < 0. З попередньої інформації знаємо, що функція 3x² − 4x + 1 має від'ємні значення на проміжку $\left(\frac13; 1\right)$. Для перевірки можна глянути на графік:

Відповідь: $x \in \left(\frac13; 1\right)$.

Нульовий дискримінант

Під час розв'язування квадратного рівняння може вийти нульовий дискримінант. Це буває тоді, коли графік функції дотикається до осі Ox в одній точці. Покажемо це на нерівності 3x² + 6x + 3 ≥ 0. Дискримінант дорівнює нулю:

$$ D = b^2 - 4ac = 6^2 - 4 \cdot 3 \cdot 3 = 36 - 36 = 0 $$

Графік виглядав би так:

Як видно, графік дотикається до осі Ox в єдиній точці x₁ = −1, а решта графіка лежить над віссю Ox у додатних значеннях. Це означає, що розв'язком нерівності 3x² + 6x + 3 ≥ 0 є вся множина дійсних чисел, адже яке б дійсне число ми не підставили замість x, значення завжди буде невід'ємним.

Від'ємний дискримінант

Якщо дискримінант вийшов від'ємним, це означає, що графік ніколи не перетинає вісь Ox. Як це позначається на наших нерівностях? Так, що графік або повністю лежить над віссю Ox, або повністю під нею. Якби ми змінили попередню нерівність так: 3x² + 6x + 4 > 0 (змінили знак із ≥ на > і число три на чотири), то дискримінант вийшов би:

$$ D = 6^2 - 4 \cdot 3 \cdot 4 = -12 $$

а графік виглядав би так:

Графік цілком лежить над віссю Ox, і яке б дійсне число ми не підставили замість x, значення завжди буде додатним. Отже, розв'язком нерівності знову є вся множина дійсних чисел: x ∈ ℝ.