Двочленні рівняння

Двочленне рівняння — це алгебраїчне рівняння.

Означення

Загальний вигляд двочленного рівняння такий:

$$ax^n+b=0,$$

де a, b — довільні дійсні або комплексні числа. Далі припускаємо, що a, b≠0 і що n — натуральне число.

Окремі випадки двочленного рівняння:

• n = 1: рівняння має вигляд ax + b = 0 і є лінійним рівнянням.
• n = 2: рівняння має вигляд ax² + b = 0 і є квадратним рівнянням.

Кожне двочленне рівняння можна звести до зведеного вигляду, поділивши його на число a. Тоді рівняння набуде вигляду:

$$x^n+\frac{b}{a}=0$$

Можна ще зробити заміну й замість дробу b/a писати c. Тобто якщо c = b/a, то рівняння матиме вигляд:

$$x^n+c=0$$

Як розв'язати двочленне рівняння

Спершу зводимо рівняння до зведеного вигляду, потім переносимо c у праву частину й отримуємо рівняння

$$x^n=-c$$

Далі з обох частин рівняння добуваємо корінь n-го степеня.

$$x=\sqrt[n]{-c}$$

Це рівняння розв'язуємо за формулою добування кореня з комплексних чисел. Вона має такий вигляд:

$$\sqrt[n]{z}=\sqrt[n]{|z|}\left[\cos\left(\frac{\alpha}{n}+\frac{2k\pi}{n}\right)+i\sin\left(\frac{\alpha}{n}+\frac{2k\pi}{n}\right)\right]$$

причому

$$z=|z|(\cos\alpha+i\sin\alpha)$$

і вся формула справджується для k = 0, 1, …, n − 1.

Приклад: обчисли корені рівняння x³ − 4 = 0. Після зведення до зведеного вигляду й добування кореня рівняння матиме вигляд:

$$x=\sqrt[3]{4}$$

Оскільки число −c = 4 не має уявної частини, кут α дорівнює нулю, і його можна з формули прибрати. k-й корінь рівняння матиме вигляд:

$$x_k=\sqrt[3]{4}\left[\cos\left(\frac{2k\pi}{3}\right)+i\sin\left(\frac{2k\pi}{3}\right)\right]$$

Тепер цю формулу треба застосувати для k = 0, 1, 2. Для k = 0 отримуємо:

$$x_0=\sqrt[3]{4}(\cos0+i\sin0)=\sqrt[3]{4}$$

Для k = 1:

$$\begin{eqnarray} x_1&=&\sqrt[3]{4}\left(\cos\frac{2\pi}{3}+i\sin\frac{2\pi}{3}\right)\\ &=&\sqrt[3]{4}\left(-\frac12+i\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\\ &=&\frac12\sqrt[3]{4}(-1+i\sqrt{3}) \end{eqnarray}$$

Для k = 2:

$$\begin{eqnarray} x_2&=&\sqrt[3]{4}\left(\cos\frac{4\pi}{3}+i\sin\frac{4\pi}{3}\right)\\ &=&\sqrt[3]{4}\left(-\frac12-i\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\\ &=&-\frac12\sqrt[3]{4}(1+i\sqrt{3}) \end{eqnarray}$$

Ось і все, маємо три корені x₀, x₁ і x₂.

Відповідь: $x_0=\sqrt[3]{4}$, $x_1=\frac12\sqrt[3]{4}(-1+i\sqrt{3})$, $x_2=-\frac12\sqrt[3]{4}(1+i\sqrt{3})$.