✖

Лінійні нерівності

Лінійні нерівності розв'язують подібними перетвореннями, як і звичайне лінійне рівняння. Лінійна нерівність зазвичай має такий вигляд: ax + b>0 (або зі знаком «менше», «більше або дорівнює», «менше або дорівнює»). Тепер досить лише перетворити нерівність до такого вигляду, і результат готовий: x>−b/a. Звісно, ми припускаємо, що a>0. Для від'ємного a під час ділення знак нерівності змінився б на протилежний, і вийшло б x<−b/a.

Звичайна лінійна нерівність

Лінійну нерівність можна розв'язувати рівносильними перетвореннями нерівностей.

  • Простий приклад може виглядати так:

    $$ 3x + 9 > 3 $$

    Спершу перенесемо всі вирази без невідомої в праву частину. Тобто додамо до нерівності число −9 і отримаємо нерівність:

    $$\begin{eqnarray} 3x + 9 - 9 &>& 3 - 9\\ 3x &>& -6 \end{eqnarray}$$

    Потім поділимо всю нерівність на три:

    $$\begin{eqnarray} 3x/3 &>& -6/3\\ x &>& -2 \end{eqnarray}$$

    Це розв'язок усієї нерівності. Нерівність виконується для всіх x > −2.

    Нерівність можна розв'язати й графічно. Якщо маємо нерівність 3x + 9 > 3, малюємо графіки двох функцій — лівої та правої частин нерівності. Отримуємо функції f(x) = 3x + 9 і g(x) = 3. Їхні графіки виглядають так:

    Графіки функцій f(x) = 3x + 9 і g(x) = 3

    Бачимо, що ці графіки перетинаються в одній точці x1, абсциса якої дорівнює саме −2. Бачимо також, що для всіх x > x1, тобто для всіх x з інтервалу (−2; +∞), червона функція 3x + 9 розташована «над» синьою функцією 3 (тут «над» означає «має більшу ординату»). Це збігається з результатом, до якого ми щойно дійшли обчисленням.

  • Іноді, коли в нерівності багато мінусів, зручно помножити всю нерівність на мінус одиницю. У цьому випадку, крім самих значень нерівності, потрібно змінити й знак — зі «більше» зробити «менше» і навпаки:

    $$\begin{eqnarray} -x&<&-10\quad /\cdot(-1)\\ x&>&10 \end{eqnarray}$$

    Це, звісно, стосується будь-якого випадку, коли ти множиш усю нерівність на будь-яке від'ємне число. Тож ще один швидкий приклад:

    $$\begin{eqnarray} -3x+8&<&2x-7\\ -5x&<&-15\qquad /\cdot \left(-\frac15\right)\\ x&>&3 \end{eqnarray}$$

    На першому кроці, як зазвичай, додаємо до нерівності −2x, тобто переносимо всі вирази зі змінною в ліву частину. Водночас віднімаємо вісімку, тобто переносимо сталі в праву частину. Далі залишається лише помножити всю нерівність на $-\frac15$.

    Для ілюстрації роздивися графічний розв'язок нерівності, де зображено дві функції f(x) = −3x + 8 і g(x) = 2x − 7.

    Графіки функцій f(x)=-3x+8 і g(x)=2x-7

    Бачимо, що червоний графік функції −3x + 8 розташований під синім графіком функції 2x − 7 щоразу, коли x > 3.

Змінна в знаменнику

Лінійна нерівність, що містить дроби зі змінною в знаменнику, розв'язують трохи складнішим способом. Прикладом може бути нерівність:

$$ \frac{2}{x}+3>4 $$

ОДЗ цієї нерівності: x ≠ 0. Нерівність не можна множити на вираз зі змінною в знаменнику, бо ми не знаємо її знака. Якби значення змінної було від'ємним, довелося б змінити знак нерівності. Тому не можна просто так помножити нерівність на змінну із знаменника. Це не було б рівносильним перетворенням нерівностей.

Почнемо перетворювати нерівність так, щоб отримати в лівій частині один дріб, а в правій — нуль. Отже, спершу додамо до нерівності −4 і отримаємо:

$$\begin{eqnarray} \frac{2}{x}+3>4\\ \frac{2}{x}-1>0 \end{eqnarray}$$

Тепер треба звести вираз у лівій частині до одного дробу. Число −1 помножимо на дріб $\frac{x}{x}$, і тим самим зведемо обидва вирази до спільного знаменника, а тоді просто додамо дроби:

$$\begin{eqnarray} \frac{2}{x}-1&>&0\\ \frac{2}{x}-\frac{x}{x}&>&0\\ \frac{2-x}{x}&>&0\\ \end{eqnarray}$$

Тепер постає питання: коли дріб додатний? Дріб додатний, якщо чисельник і знаменник обидва додатні або обидва від'ємні. Якщо один із них додатний, а другий від'ємний, дріб від'ємний. Наприклад, дріб $\frac43$ є додатним числом. Дріб $\frac{-3}{4}$ є від'ємним числом. Дріб $\frac{-3}{-4}$ знову є додатним числом, бо мінуси скорочуються. Загалом можна записати:

$$\begin{eqnarray} \frac{\mbox{додатне}}{\mbox{додатне}}&=&\mbox{додатне}\\ \frac{\mbox{додатне}}{\mbox{від'ємне}}&=&\mbox{від'ємне}\\ \frac{\mbox{від'ємне}}{\mbox{додатне}}&=&\mbox{від'ємне}\\ \frac{\mbox{від'ємне}}{\mbox{від'ємне}}&=&\mbox{додатне} \end{eqnarray}$$

Тож доведеться розв'язати дві системи нерівностей. Почнемо з випадку, коли чисельник і знаменник обидва додатні:

  1. Щоб чисельник і знаменник були додатними, мають одночасно виконуватися обидві нерівності:

    $$2-x>0\qquad\wedge\qquad x>0$$

    У першій нерівності просто перенесемо 2 в іншу частину й помножимо на −1:

    $$\begin{eqnarray} 2-x&>&0\\ -x&>&-2\\ x&<&2 \end{eqnarray}$$

    Маємо розв'язок першої нерівності. У другій нерівності x > 0 уже нічого розв'язувати. Тепер потрібно знайти перетин цих розв'язків, бо нас цікавлять випадки, коли виконуються обидва розв'язки одночасно, тобто коли чисельник додатний і водночас знаменник додатний. Перший розв'язок можна записати як проміжок (−∞; 2), другий — як проміжок (0; +∞). Знайдемо перетин цих проміжків:

    $$\left(-\infty; 2\right) \cap \left(0; +\infty\right) = \left(0; 2\right)$$

    Це один із розв'язків нерівності. Якщо підставити числа з цього проміжку, нерівність виконуватиметься. Наприклад, якщо замість x підставити x = 1, число з проміжку (0; 2), отримаємо $\frac{2}{1}+3 > 4$, тобто 5 > 4. Тепер залишається розглянути випадок, коли чисельник і знаменник обидва від'ємні.

  2. Якщо чисельник і знаменник мають бути від'ємними, розв'язуємо нерівності:

    $$2-x < 0\qquad\wedge\qquad x<0$$

    Знову швидко розв'яжемо нерівність 2 − x < 0:

    $$\begin{eqnarray} 2-x&<&0\\ -x&<&-2\\ x&>&2 \end{eqnarray}$$

    Другий розв'язок знову просто x < 0. Запишемо проміжками: (2; +∞) і (−∞; 0) та знайдемо перетин:

    $$ \left(2; +\infty\right) \cap \left(-\infty; 0\right) = \varnothing $$

    Вийшла порожня множина. Що це означає? Що дріб $\frac{2-x}{x}$ ніколи не може мати від'ємний чисельник і водночас від'ємний знаменник.

Обидва попередні результати тепер просто об'єднаємо й отримаємо шукану множину S:

$$S=\left(0; 2\right)\cup\varnothing=\left(0; 2\right)$$

Нерівність $\frac{2}{x}+3>4$ виконується для всіх x з проміжку (0; 2). Можна намалювати графік, на якому зобразимо функції $f(x)=\frac{2}{x}+3$ і g(x) = 4:

Графіки функцій f(x)=\frac{2}{x}+3 і g(x)=4

Бачимо, що червоний графік функції $f(x)=\frac{2}{x}+3$ розташований над синім графіком функції g(x) = 4 саме на проміжку (0; 2).

Відповідь: x ∈ (0; 2).

Лінійна нерівність із модулем

Трохи більше мороки буває з нерівностями, що містять модуль. Потрібно окремо розглядати випадок, коли вираз під модулем додатний і знак не змінюється, та випадок, коли він від'ємний і знак змінюється, — по суті, виникають дві нерівності в одній. Отже, простий приклад:

$$\left|x + 5\right| < 12$$

Насамперед треба знайти нуль підмодульного виразу — число, після підстановки якого весь вираз під модулем дорівнює нулю; він слугує для визначення проміжків, на яких знак змінюється і на яких ні. Тож спершу розв'язуємо рівняння

$$x+5=0$$

Бачимо, що результат — x = −5. Ця точка ділить значення x на два проміжки. На одному функція x + 5 набуває додатних значень, на другому — від'ємних. Тож на проміжку (−∞; −5) отримуємо від'ємні числа, а на проміжку [−5; +∞) — додатні, точніше невід'ємні. Для наочності: у першому рядку число з першого проміжку, у другому — з другого:

$$\begin{eqnarray} -8+5&=&-3\\ 13+5&=&18 \end{eqnarray}$$

Що це нам говорить? Що коли підставити за x значення, більше за мінус п'ять, то модуль не змінить результату, бо x + 5 буде додатним числом. І навпаки, коли значення x менше за мінус п'ять, результат x + 5 буде від'ємним, і модуль зробить його додатним. Тому в нерівності потрібно розрізняти ці два випадки.

Спершу обчислимо результат для випадку, коли беремо x з проміжку [−5; +∞). Зараз знак не змінюється, бо ми лише прибираємо модуль.

$$\begin{eqnarray} x+5&<&12\\ x&<&7\\ x&\in&\left(-\infty; 7\right) \end{eqnarray}$$

Це майже перший розв'язок. Потрібно ще знайти перетин із проміжком, з якого зараз вибираємо x. Ми ж рухаємося в проміжку [−5; +∞), тож розв'язком цієї лінійної нерівності не може бути, наприклад, x = −15, бо це число не належить нашому проміжку. Отже, знаходимо перетин:

$$\left[-5; +\infty\right)\cap(-\infty; 7)=\left[-5; 7\right)$$

Це перший результат. Тепер треба обчислити результат для випадку, коли беремо x з проміжку (−∞; −5). На цьому проміжку модуль змінює знак. Щоб прибрати з нерівності модуль, потрібно самим змінити знак, тобто помножити вираз під модулем на число −1. Тож перепишемо так:

$$\begin{eqnarray} \left|x+5\right|&<&12\\ -(x+5)&<&12\\ -x-5&<&12 \end{eqnarray}$$

До нерівності додаємо 5:

$$-x<17$$

І множимо на −1:

$$x>-17$$

Отримуємо результат:

$$x\in(-17; +\infty)$$

Але, як і раніше, значення x ми вибираємо з проміжку (−∞; −5), тому ще потрібно знайти перетин цього проміжку з нашим результатом:

$$(-17; +\infty)\cap(-\infty; -5)=(-17; -5)$$

Тепер маємо обидва результати, які залишилося лише об'єднати:

$$x\in\left[-5; 7\right)\cup(-17; -5)=(-17; 7)$$

Для перевірки можна глянути на графіки цих функцій:

Графіки функцій

Ще кілька слів про те, коли використовувати закритий, а коли відкритий проміжок. Якщо нерівність строга, тобто x>0, використовуємо відкритий проміжок (круглу дужку), бо x не може дорівнювати нулю. Якщо нерівність нестрога, x≥0, використовуємо закритий проміжок (квадратну дужку), бо x може дорівнювати нулю. Наприклад, якщо підставити в нерівність, яку ми щойно розв'язували, x = 7, яке «ледь-ледь» не входить у розв'язок, отримаємо:

$$\begin{eqnarray} \left|x+5\right|&<&12\\ (7+5)&<&12\\ 12&<&12 \end{eqnarray}$$

Нерівність не виконується, 12 не менше за 12.

Відповідь: x ∈ (−17; 7).