Квадратні рівняння

Квадратне рівняння — це рівняння з однією невідомою, яка підноситься до другого степеня. Якщо ж невідома підноситься до степеня вищого за другий, то це вже не квадратне рівняння.

Опис квадратного рівняння

Загальний вигляд квадратного рівняння такий:

$$ax^2+bx+c=0$$

Числа a, b, c — дійсні числа, причому a не дорівнює нулю. Інші назви:

• ax² називається квадратним членом,
• bx називається лінійним членом,
• c називається вільним членом.

Кожне квадратне рівняння можна звести до загального вигляду за допомогою рівносильних перетворень або інших перетворень. Прикладом квадратного рівняння може бути таке:

$$3x^2-6x+8=0.$$

Складніше питання, чи є квадратним і таке рівняння:

$$(x+1)\cdot(x+2)=7.$$

Ніде не видно x², а в правій частині не нуль. З правою частиною впораємося просто: віднімемо сімку, і отримаємо вигляд

$$(x+1)\cdot(x+2)-7=0.$$

x² усе ще немає. Розкриємо дужки й отримаємо:

$$x^2+2x+x+2-7=0$$

Тепер x² з'явився. Після зведення подібних доданків нарешті маємо загальний вигляд квадратного рівняння:

$$x^2+3x-5=0.$$

А як щодо такого прикладу: це квадратне рівняння? Чи можна його звести до загального вигляду?

$$x^2+3x+\frac{4}{x}=0$$

Відповідь: ні. Адже якщо помножити все рівняння на змінну x, щоб позбутися змінної в знаменнику дробу, отримаємо:

$$x^3+3x^2+4=0.$$

Тепер тут з'явився x³, а в квадратному рівнянні його бути не може.

Існують особливі типи квадратних рівнянь залежно від значень коефіцієнтів a, b і c.

Значення коефіцієнтів

Для наступних розділів украй важливо вміти визначати окремі коефіцієнти a, b і c. Почнімо з простого прикладу. Визнач коефіцієнти рівняння 3x² + 4x + 7 = 0. Тут усе просто: a = 3, b = 4 і c = 7.

А що скажемо про рівняння 3x² − x + 2 = 0? Значення a і c очевидні: a = 3 і c = 2, а от b? Помилкою було б написати, що b = 1. Уяви, що перед x стоїть одиниця, ось так: 3x² − 1x + 2 = 0. Тепер уже краще видно, що b = −1.

Ще один цікавий приклад: x² − 3 = 0. Тут знову може виникнути проблема з коефіцієнтом b, решта очевидні: a = 1 і c = −3. Чому дорівнює коефіцієнт b? Лінійного члена в цьому рівнянні взагалі немає, це те саме, що записати рівняння у вигляді x² + 0x − 3 = 0. Отже, b = 0.

Складніший приклад:

$$5x^2+3x+\pi\cdot x=0$$

У цьому рівнянні дві пастки. Вільного члена немає, тож c = 0. Квадратний член зрозумілий, отже, a = 5. А що ж із цим клятим b? Можна трохи перетворити рівняння й винести з двох доданків змінну x за дужки так:

$$5x^2+(3+\pi)x=0$$

Коефіцієнт b знову є тим, що стоїть «перед» змінною x, тож уся дужка дорівнює коефіцієнту b = (3+π). Схоже рівняння:

$$-x^2+4x+1-\sqrt{2}=0$$

Перші два коефіцієнти очевидні: a = −1 і b = 4. Який вільний член? Це решта виразів, де немає x. Отже, $c=1-\sqrt{2}$. Не бійся кореня, він не кусається, це звичайне число.

А які значення в такому рівнянні? (x + 1)(x + 2) = −2x. Спершу треба звести рівняння до загального вигляду. Розкриємо дужки й отримаємо

$$x^2+3x+2=-2x$$

а наприкінці додамо до обох частин 2x, щоб у правій частині вийшов нуль:

$$x^2+5x+2=0.$$

Значення вже очевидні: a = 1, b = 5, c = 2.

Неповне квадратне рівняння без лінійного члена

Якщо b = 0, то рівняння розв'язується подібно до лінійного рівняння. Загальний вигляд такого рівняння:

$$ax^2+c=0$$

Оскільки b = 0, увесь лінійний член bx із рівняння випадає, адже 0x = 0. Рівняння розв'язуємо так: спершу віднімаємо вільний член. Тобто віднімаємо від обох частин рівняння значення c. Отримуємо:

$$\begin{eqnarray} ax^2+c&=&0\quad/-c\\ ax^2&=&-c \end{eqnarray}$$

Далі ділимо рівняння на число a. Отримуємо вигляд:

$$x^2=\frac{-c}{a}$$

І нарешті добуваємо квадратний корінь з обох частин. При цьому дріб у правій частині не може бути від'ємним, бо з від'ємного числа корінь добути не можна. Отримуємо результат:

$$x_1=\sqrt{\frac{-c}{a}},\quad x_2=-\sqrt{\frac{-c}{a}}$$

Зверни увагу, що розв'язків два: один додатний, а другий від'ємний. Краще це видно на прикладі. Розв'яжемо рівняння

$$2x^2-8=0.$$

За описаним способом спершу віднімаємо член c. Зауваж, що в цьому випадку член c від'ємний, тому віднімаємо від'ємне число, тобто додаємо додатне. До обох частин рівняння додаємо +8 (мета — отримати вісімку в правій частині). Отримуємо вигляд:

$$2x^2=8$$

Далі, за способом, ділимо рівняння на число a, тобто на двійку. Після ділення отримуємо вигляд:

$$x^2=4$$

Тепер добуваємо корінь.

$$x_1=2,\quad x_2=-2$$

Чому є ще й мінус два? Бо мінус два помножити на мінус два дає чотири. Можна глянути і на графічний розв'язок: бачимо, що графік функції 2x² − 8 перетинає вісь Ox саме в точках x₁ = −2 і x₂ = 2.

Розв'яжи рівняння

$$80x^2-5=0.$$

До обох частин рівняння додаємо п'ятірку:

$$80x^2=5$$

Ділимо на 80:

$$x^2=\frac{5}{80}$$

Скорочуємо дріб:

$$x^2=\frac{1}{16}$$

Добуваємо корінь:

$$x_1=\frac14,\quad x_2=-\frac14$$

Неповне квадратне рівняння без вільного члена

Ще один особливий випадок квадратного рівняння — коли вільний член c дорівнює нулю. Загальний вигляд рівняння:

$$ax^2+bx=0$$

Такий тип рівняння розв'язується винесенням невідомої за дужки:

$$x(ax + b) = 0.$$

Тут уже досить чітко видно результат. Знову виходять два корені рівняння, але один із них завжди дорівнює нулю. Уся ліва частина записана як добуток двох виразів: x і дужки (ax + b). Коли цей добуток дорівнює нулю? Тоді, коли принаймні один із цих виразів дорівнює нулю. Отже, ліва частина дорівнює нулю у двох випадках:

$$x=0\quad\mbox{або}\quad ax+b=0.$$

Перший розв'язок рівняння ми вже маємо — це нуль. Другий отримаємо, розв'язавши лінійне рівняння ax + b = 0. Зі статті про лінійні рівняння знаємо, що це рівняння має рівно один розв'язок, який дорівнює:

$$x=-\frac{b}{a}$$

Отже, тепер можна записати результат для всього квадратного рівняння ax² + bx = 0:

$$x_1=0,\quad x_2=-\frac{b}{a}.$$

Приклад:

$$6x^2+3x=0$$

Виносимо x за дужки:

$$x(6x+3)=0$$

Перший розв'язок — x = 0. Другий знайдемо, розв'язавши лінійне рівняння 6x + 3 = 0:

$$x=-\frac{b}{a}=-\frac36=-\frac12.$$

Запишемо результат:

$$x_1=0,\quad x_2=-\frac12.$$

Знову можна глянути на графік функції, який перетинає вісь Ox саме в цих точках:

Інші способи розв'язування

Це були основні прийоми для особливих типів квадратних рівнянь. Загальне квадратне рівняння розв'язується за допомогою дискримінанта. До інших типів рівнянь належить і квадратне рівняння з параметром.