Біквадратні рівняння

Біквадратне рівняння — це, наприклад, рівняння 3x⁴ + 7x² + 5 = 0. Загалом рівняння називаємо біквадратним, якщо його можна рівносильними перетвореннями звести до вигляду

$$\large ax^4+bx^2+c=0$$

де a, b, c — дійсні числа, а коефіцієнт a відмінний від нуля. Рівняння трохи нагадує квадратне, лише показники степенів удвічі більші. Як таке рівняння розв'язати? Невеликою хитрістю зводимо його саме до квадратного. Ця хитрість називається заміною змінної. Робимо її так: нехай t = x², і скрізь, де в початковому рівнянні було x², тепер пишемо t. Для прикладу візьмімо біквадратне рівняння

$$\large x^4-2x^2-15=0$$

Усі x² замінюємо на t, не забуваючи, що x⁴ — це насправді x² · x², а отже, x⁴ = t²:

$$\large t^2-2t-15=0$$

Тепер видно, навіщо ми робили цю заміну: вийшло звичайне квадратне рівняння. Його можна розв'язати, наприклад, обчисливши дискримінант або методом виділення повного квадрата. Дискримінант дорівнює

$$D=b^2-4ac=(-2)^2-4\cdot1\cdot(-15)=64$$

Отже, корені рівняння такі:

$$t_{1{,}2}=\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}=\frac{2\pm\sqrt{64}}{2}=\frac{2\pm8}{2}$$

Маємо два корені:

$$\large t_1=5, \qquad t_2=-3$$

Тепер ми знаємо розв'язки квадратного рівняння t² − 2t − 15 = 0. Залишилося знайти розв'язки початкового біквадратного рівняння. Ми знаємо: якщо t дорівнює п'яти або мінус трьом, рівняння виконується. Але нас цікавить не t, а x. Відомо, що t = x², адже саме таку заміну ми обрали. Тому, розв'язавши рівняння

$$\large x^2 = 5 \qquad \mbox{та} \qquad x^2=-3$$

отримаємо розв'язки початкового рівняння відносно x. Перше рівняння просте: якщо x² = 5, то

$$\large x_1 = \sqrt{5}, \qquad x_2 = -\sqrt{5}$$

З другим рівнянням складніше, бо x² = −3 не має розв'язків на множині дійсних чисел; розв'язки довелося б шукати на множині комплексних чисел. Якщо шукаємо лише дійсні розв'язки, то можна сказати, що початкове біквадратне рівняння має два дійсні корені: $x_1 = \sqrt{5}$ і $x_2 = -\sqrt{5}$.

Відповідь (на множині дійсних чисел): $x_1 = \sqrt{5}$, $x_2 = -\sqrt{5}$.